Verifique o teorma de gauss para
\vec{A}=4 x_{1} z_{1}-2 x_{2}^{2} \hat{z}_{2}+x_{3}^{2} \hat{z}_{3}
calculado sobre a regià limitada por x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}=4 e x_{3}=0.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial e a descrição da região a verificar. Dados e pedido (peguei tudo do enunciado):
  • Campo vetorial: \vec{A} = 4 x_{1}\,\hat{z}_{1} - 2 x_{2}^{2}\,\hat{z}_{2} + x_{3}^{2}\,\hat{z}_{3}.
  • Região indicada: limitada por x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4 e x_{3}=0.
O que o enunciado pede:
  • Verificar o teorema de Gauss (teorema da divergência) para esse campo sobre a região mencionada.
Observação importante e necessária: a descrição da região está incompleta para aplicar diretamente o teorema da divergência, porque as superfícies dadas ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4 é a superfície lateral de um cilindro infinito e x_{3}=0 é um plano) não definem um volume fechado por si só. Para aplicar o teorema de Gauss é preciso um domínio volumétrico fechado (uma região com fronteira fechada). Por isso, tal como está, não há informação suficiente para calcular fluxos/triplos integrais numericamente.
Para continuar de forma útil, vou:
  • Primeiro explicar o que é preciso calcular e como (aulas rápidas nos próximos passos).
  • Em seguida, mostrar passo a passo a verificação do teorema supondo a interpretação mais natural e usual: o volume sólido cilíndrico de raio 2 limitado por baixo pelo plano x_{3}=0 e por cima por um plano horizontal x_{3}=H (com H>0 arbitrário). Ou seja, o volume
V=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 4,\\\ 0\le x_{3}\le H\}.
Farei toda a conta em função de H e mostrarei que, para esse volume fechado, a igualdade do teorema de Gauss vale. Se a sua intenção era outra (por exemplo um outro fechamento do cilindro), diga qual é; caso contrário, esta é a verificação completa para o caso mais natural.

Passo 2

O que diz o teorema da divergência (explicação didática curta e clara).
  • O teorema de Gauss (ou divergência) afirma que, para um campo vetorial suficientemente suave e para um volume V com fronteira orientada externamente \partial V,
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV \;=\; \iint_{\partial V} \vec{A}\cdot\hat{n}\,dS.
  • Interpretação: a integral tripla da divergência sobre o volume mede a “taxa líquida de saída” do campo dentro do volume, e isso é igual ao fluxo total do campo nas superfícies que fecham o volume.
  • Para usar o teorema precisamos:
    1. Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{A}.
    2. Calcular a integral tripla da divergência sobre V.
    3. Calcular o fluxo \iint_{\partial V}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS através de cada parte da superfície \partial V (e somar).
    4. Verificar que os dois resultados coincidem.
Agora calculamos a divergência do campo dado.
Calculemos \nabla\cdot\vec{A}. O campo em componentes é
\vec{A}=(A_{1},A_{2},A_{3})=(4 x_{1},\\\ -2 x_{2}^{2},\\ x_{3}^{2}).
Derivando componente a componente:
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}(4 x_{1})+\frac{\partial}{\partial x_{2}}(-2 x_{2}^{2})+\frac{\partial}{\partial x_{3}}(x_{3}^{2}).
Calcule cada derivada:
\frac{\partial}{\partial x_{1}}(4 x_{1})=4,\qquad \frac{\partial}{\partial x_{2}}(-2 x_{2}^{2})=-4 x_{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x_{3}}(x_{3}^{2})=2 x_{3}.
Logo
\nabla\cdot\vec{A}=4-4 x_{2}+2 x_{3}.

Passo 3

Integral tripla da divergência sobre o volume cilíndrico V (assumindo 0\le x_{3}\le H e x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 4).
  • Para volumes cilíndricos é mais prático usar coordenadas cilíndricas: x_{1}=r\cos\theta,\qquad x_{2}=r\sin\theta,\qquad x_{3}=z,com 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi, 0\le z\le H. O elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Escrevendo \nabla\cdot\vec{A} em cilíndricas: \nabla\cdot\vec{A}=4-4 x_{2}+2 x_{3}=4-4 r\sin\theta +2 z.
  • A integral tripla é
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV =\int_{z=0}^{H}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\bigl(4-4 r\sin\theta +2 z\bigr)\,r\,dr\,d\theta\,dz.
Calcule passo a passo a integral em r:
\int_{0}^{2}\bigl(4 r -4 r^{2}\sin\theta +2 z r\bigr)\,dr = \int_{0}^{2}4r\,dr \;-\;4\sin\theta\int_{0}^{2}r^{2}\,dr \;+\;2z\int_{0}^{2}r\,dr.
Avalie cada uma:
\int_{0}^{2}4r\,dr =4\cdot\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=4\cdot 2=8,
\int_{0}^{2}r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{2}=\frac{8}{3},
\int_{0}^{2}r\,dr=\frac{r^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=2.
Substituindo:
\int_{0}^{2}\bigl(4 r -4 r^{2}\sin\theta +2 z r\bigr)\,dr =8 -4\sin\theta\cdot\frac{8}{3} +2z\cdot 2 =8 -\frac{32}{3}\sin\theta +4z.
Agora integrar em \theta de 0 a 2\pi. Observe que \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, e \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\Bigl(8 -\frac{32}{3}\sin\theta +4z\Bigr)\,d\theta =2\pi\cdot 8 + 0 + 2\pi\cdot 4z =16\pi +8\pi z.
Finalmente, integra em z de 0 a H:
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV =\int_{0}^{H}\bigl(16\pi +8\pi z\bigr)\,dz =16\pi H +8\pi\cdot\frac{H^{2}}{2} =16\pi H +4\pi H^{2}.

Passo 4

Cálculo do fluxo de \vec{A} através da superfície frontera \partial V (a face lateral do cilindro, o disco superior em x_{3}=H e o disco inferior em x_{3}=0). A soma dos fluxos deve igualar a integral tripla calculada.
  1. Superfície lateral (círculo radial de raio 2, com 0\le z\le H):
  • No lado lateral temos r=2. O vetor normal externo é \hat{n}=\hat{e}_{r}=(\cos\theta,\sin\theta,0).
  • Em coordenadas cartesianas \vec{A}=(4 x_{1},-2 x_{2}^{2},x_{3}^{2})=(4r\cos\theta,\\\ -2 r^{2}\sin^{2}\theta,\\ z^{2}).
  • Produto escalar com \hat{n}:
\vec{A}\cdot\hat{n}=4r\cos\theta\cdot\cos\theta +(-2 r^{2}\sin^{2}\theta)\cdot\sin\theta =4r\cos^{2}\theta -2 r^{2}\sin^{3}\theta.
  • No contorno lateral r=2, então \vec{A}\cdot\hat{n}=8\cos^{2}\theta -8\sin^{3}\theta.
  • Elemento de área lateral: dS = r\,d\theta\,dz = 2\,d\theta\,dz.
  • Fluxo lateral:
\Phi_{\text{lat}}=\int_{z=0}^{H}\int_{\theta=0}^{2\pi}\bigl(8\cos^{2}\theta -8\sin^{3}\theta\bigr)\cdot 2\,d\theta\,dz =\int_{0}^{H}\int_{0}^{2\pi}\bigl(16\cos^{2}\theta -16\sin^{3}\theta\bigr)\,d\theta\,dz.
  • Avaliando a integral em \theta: \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi e \int_{0}^{2\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta=0. Logo o integrando dá 16\pi.
  • Integre em z: \Phi_{\text{lat}}=\int_{0}^{H}16\pi\,dz=16\pi H.
  1. Disco superior (plano x_{3}=H, normal externo \hat{n}=+\hat{e}_{3}):
  • Sobre esse disco z=H, o vetor \vec{A}\cdot\hat{n}=A_{3}=z^{2}=H^{2}.
  • Área do disco de raio 2 é \pi\cdot 2^{2}=4\pi.
  • Fluxo através do topo:
\Phi_{\text{topo}}=H^{2}\cdot \text{(área)}=H^{2}\cdot 4\pi =4\pi H^{2}.á
  1. Disco inferior (plano x_{3}=0, normal externo é \hat{n}=-\hat{e}_{3} porque aponta para fora do volume):
  • Sobre esse disco z=0, A_{3}=z^{2}=0.
  • Logo o fluxo pelo disco inferior é \Phi_{\text{inf}}=0.
Some os fluxos:
\Phi_{\partial V}=\Phi_{\text{lat}}+\Phi_{\text{topo}}+\Phi_{\text{inf}} =16\pi H + 4\pi H^{2} + 0 = 16\pi H + 4\pi H^{2}.

Passo 5

Conclusão e comparação:
  • A integral tripla da divergência sobre V deu
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV = 16\pi H + 4\pi H^{2}.
  • O fluxo total através da superfície \partial V deu
\iint_{\partial V}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS = 16\pi H + 4\pi H^{2}.
  • Portanto, para o volume sólido cilíndrico x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 4, 0\le x_{3}\le H, o teorema de Gauss é verificado (os dois lados coincidem) para qualquer H>0.
Observação final (recapitulando a limitação inicial): se a sua intenção era outro volume (por exemplo um cilindro fechado por outra superfície não-horizontal, ou nenhum limite superior), então os cálculos numéricos mudam e é preciso especificar a fronteira completa. Aqui eu mostrei detalhadamente o procedimento e a verificação para o caso natural do cilindro de altura H.

Resposta

Não é possível verificar o teorema como dado originalmente porque a região indicada não está completamente especificada (não é um volume fechado).
Se a região for o cilindro sólido \{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 4,\\\ 0\le x_{3}\le H\}, então
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV \;=\; \iint_{\partial V}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS \;=\; 16\pi H + 4\pi H^{2}.

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