Região indicada: limitada por x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4 e x_{3}=0.
O que o enunciado pede:
Verificar o teorema de Gauss (teorema da divergência) para esse campo sobre a região mencionada.
Observação importante e necessária: a descrição da região está incompleta para aplicar diretamente o teorema da divergência, porque as superfícies dadas (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=4 é a superfície lateral de um cilindro infinito e x_{3}=0 é um plano) não definem um volume fechado por si só. Para aplicar o teorema de Gauss é preciso um domínio volumétrico fechado (uma região com fronteira fechada). Por isso, tal como está, não há informação suficiente para calcular fluxos/triplos integrais numericamente.
Para continuar de forma útil, vou:
Primeiro explicar o que é preciso calcular e como (aulas rápidas nos próximos passos).
Em seguida, mostrar passo a passo a verificação do teorema supondo a interpretação mais natural e usual: o volume sólido cilíndrico de raio 2 limitado por baixo pelo plano x_{3}=0 e por cima por um plano horizontal x_{3}=H (com H>0 arbitrário). Ou seja, o volume
Farei toda a conta em função de H e mostrarei que, para esse volume fechado, a igualdade do teorema de Gauss vale. Se a sua intenção era outra (por exemplo um outro fechamento do cilindro), diga qual é; caso contrário, esta é a verificação completa para o caso mais natural.
Passo 2
O que diz o teorema da divergência (explicação didática curta e clara).
O teorema de Gauss (ou divergência) afirma que, para um campo vetorial suficientemente suave e para um volume V com fronteira orientada externamente \partial V,
Interpretação: a integral tripla da divergência sobre o volume mede a “taxa líquida de saída” do campo dentro do volume, e isso é igual ao fluxo total do campo nas superfícies que fecham o volume.
Para usar o teorema precisamos:
Calcular a divergência \nabla\cdot\vec{A}.
Calcular a integral tripla da divergência sobre V.
Calcular o fluxo \iint_{\partial V}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS através de cada parte da superfície \partial V (e somar).
Verificar que os dois resultados coincidem.
Agora calculamos a divergência do campo dado.
Calculemos \nabla\cdot\vec{A}. O campo em componentes é
Integral tripla da divergência sobre o volume cilíndrico V (assumindo 0\le x_{3}\le H e x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 4).
Para volumes cilíndricos é mais prático usar coordenadas cilíndricas:x_{1}=r\cos\theta,\qquad x_{2}=r\sin\theta,\qquad x_{3}=z,com 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi, 0\le z\le H. O elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Escrevendo \nabla\cdot\vec{A} em cilíndricas:\nabla\cdot\vec{A}=4-4 x_{2}+2 x_{3}=4-4 r\sin\theta +2 z.
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV =\int_{0}^{H}\bigl(16\pi +8\pi z\bigr)\,dz =16\pi H +8\pi\cdot\frac{H^{2}}{2} =16\pi H +4\pi H^{2}.
Passo 4
Cálculo do fluxo de \vec{A} através da superfície frontera \partial V (a face lateral do cilindro, o disco superior em x_{3}=H e o disco inferior em x_{3}=0). A soma dos fluxos deve igualar a integral tripla calculada.
Superfície lateral (círculo radial de raio 2, com 0\le z\le H):
No lado lateral temos r=2. O vetor normal externo é \hat{n}=\hat{e}_{r}=(\cos\theta,\sin\theta,0).
Em coordenadas cartesianas \vec{A}=(4 x_{1},-2 x_{2}^{2},x_{3}^{2})=(4r\cos\theta,\\\ -2 r^{2}\sin^{2}\theta,\\ z^{2}).
Disco inferior (plano x_{3}=0, normal externo é \hat{n}=-\hat{e}_{3} porque aponta para fora do volume):
Sobre esse disco z=0, A_{3}=z^{2}=0.
Logo o fluxo pelo disco inferior é \Phi_{\text{inf}}=0.
Some os fluxos:
\Phi_{\partial V}=\Phi_{\text{lat}}+\Phi_{\text{topo}}+\Phi_{\text{inf}} =16\pi H + 4\pi H^{2} + 0 = 16\pi H + 4\pi H^{2}.
Passo 5
Conclusão e comparação:
A integral tripla da divergência sobre V deu
\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{A})\,dV = 16\pi H + 4\pi H^{2}.
O fluxo total através da superfície \partial V deu
\iint_{\partial V}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS = 16\pi H + 4\pi H^{2}.
Portanto, para o volume sólido cilíndrico x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 4, 0\le x_{3}\le H, o teorema de Gauss é verificado (os dois lados coincidem) para qualquer H>0.
Observação final (recapitulando a limitação inicial): se a sua intenção era outro volume (por exemplo um cilindro fechado por outra superfície não-horizontal, ou nenhum limite superior), então os cálculos numéricos mudam e é preciso especificar a fronteira completa. Aqui eu mostrei detalhadamente o procedimento e a verificação para o caso natural do cilindro de altura H.
Resposta
Não é possível verificar o teorema como dado originalmente porque a região indicada não está completamente especificada (não é um volume fechado).
Se a região for o cilindro sólido \{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\le 4,\\\ 0\le x_{3}\le H\}, então
\iiint_{V}(\nabla\cdot\vec{A})\,dV \;=\; \iint_{\partial V}\vec{A}\cdot\hat{n}\,dS \;=\; 16\pi H + 4\pi H^{2}.