Questão 2) Calcular a transformada de Laplace inversa:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- É pedido calcular a transformada de Laplace inversa, ou seja encontrar
onde
- Informação útil imediata: o denominador é um polinômio em
. Para inverter via frações parciais vamos fatorá-lo e decompor em somas de termos simples cuja transformada inversa conhecemos.
Passo 2
Fatorar o denominador e achar as raízes.
- O denominador fatora assim:
- As raízes da quadrática
pela fórmula de Bhaskara são
- Portanto as três raízes do denominador são
- Observações úteis (que facilitarão contas):
Passo 3
Montar a decomposição em frações parciais.
Como as raízes são distintas, escrevemos
Multiplicando por
obtemos a identidade (válida para todo
):
Passo 4
Determinar os coeficientes
— método dos valores especiais (cover-up) e simplificações exatas.
- Para
:
Logo
- Para
(anulando os termos com fator zero):
Como
, temos
Agora simplificamos
. Usando
,
Portanto
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por
):
- Para
:
Note que
, então
Calcule
. Assim
Racionalizando:
- Verificação rápida (consistência):
, compatível com o decaimento do lado esquerdo.
Passo 5
Aplicar a transformada de Laplace inversa termo a termo.
Lembremos duas transformadas-pares básicas (que usamos sem calculadora):
válidas para
e nas respectivas regiões de convergência. Assim, invertendo cada fração temos
Substituindo
e
obtemos a solução explícita: