Questão 2) Calcular a transformada de Laplace inversa:
L^{-1}\left\{f(t)\right\}=\frac{8}{\mathrm{~s}^{3}+s^{2}-s}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • É pedido calcular a transformada de Laplace inversa, ou seja encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} onde
F(s)=\frac{8}{s^{3}+s^{2}-s}.
  • Informação útil imediata: o denominador é um polinômio em s. Para inverter via frações parciais vamos fatorá-lo e decompor F(s) em somas de termos simples cuja transformada inversa conhecemos.

Passo 2

Fatorar o denominador e achar as raízes.
  • O denominador fatora assim:
s^{3}+s^{2}-s=s\bigl(s^{2}+s-1\bigr).
  • As raízes da quadrática s^{2}+s-1=0 pela fórmula de Bhaskara são
s=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
  • Portanto as três raízes do denominador são
r_{1}=0,\qquad r_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\qquad r_{3}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.
  • Observações úteis (que facilitarão contas):
r_{2}-r_{3}=\sqrt{5},\qquad r_{2}r_{3}=-1,\qquad r_{2}+r_{3}=-1.

Passo 3

Montar a decomposição em frações parciais.
Como as raízes são distintas, escrevemos
\frac{8}{s(s-r_{2})(s-r_{3})}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-r_{2}}+\frac{C}{s-r_{3}}.
Multiplicando por s(s-r_{2})(s-r_{3}) obtemos a identidade (válida para todo s):
8=A(s-r_{2})(s-r_{3})+B\,s(s-r_{3})+C\,s(s-r_{2}).

Passo 4

Determinar os coeficientes A,B,C — método dos valores especiais (cover-up) e simplificações exatas.
  • Para s=0:
8=A(-r_{2})(-r_{3})=A\,(r_{2}r_{3})=A\cdot(-1).
Logo
A=-8.
  • Para s=r_{2} (anulando os termos com fator zero):
8=B\,r_{2}(r_{2}-r_{3}).
Como r_{2}-r_{3}=\sqrt{5}, temos
B=\frac{8}{r_{2}\sqrt{5}}.
Agora simplificamos r_{2}\sqrt{5}. Usando r_{2}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},
r_{2}\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}(-1+\sqrt{5})}{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}.
Portanto
B=\frac{8}{\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}}=\frac{16}{5-\sqrt{5}}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por 5+\sqrt{5}):
B=\frac{16(5+\sqrt{5})}{25-5}=\frac{16(5+\sqrt{5})}{20}=\frac{4}{5}(5+\sqrt{5})=4+\frac{4}{5}\sqrt{5}.
  • Para s=r_{3}:
8=C\,r_{3}(r_{3}-r_{2}).
Note que r_{3}-r_{2}=-\sqrt{5}, então
C=\frac{8}{r_{3}(-\sqrt{5})}=-\frac{8}{r_{3}\sqrt{5}}.
Calcule r_{3}\sqrt{5}=\dfrac{\sqrt{5}(-1-\sqrt{5})}{2}=-\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}. Assim
C=-\frac{8}{-\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}=\frac{16}{5+\sqrt{5}}.
Racionalizando:
C=\frac{16(5-\sqrt{5})}{25-5}=\frac{16(5-\sqrt{5})}{20}=\frac{4}{5}(5-\sqrt{5})=4-\frac{4}{5}\sqrt{5}.
  • Verificação rápida (consistência): A+B+C=-8+\bigl(4+\tfrac{4}{5}\sqrt{5}\bigr)+\bigl(4-\tfrac{4}{5}\sqrt{5}\bigr)=0, compatível com o decaimento O(1/s^{3}) do lado esquerdo.

Passo 5

Aplicar a transformada de Laplace inversa termo a termo.
Lembremos duas transformadas-pares básicas (que usamos sem calculadora):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{a t},
válidas para t\ge 0 e nas respectivas regiões de convergência. Assim, invertendo cada fração temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{A}{s}\right\}=A, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{B}{s-r_{2}}\right\}=B\,e^{r_{2}t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{C}{s-r_{3}}\right\}=C\,e^{r_{3}t}.
Substituindo A,B,C e r_{2},r_{3} obtemos a solução explícita:
f(t)=-8+\Bigl(4+\tfrac{4}{5}\sqrt{5}\Bigr)\,e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\,t} +\Bigl(4-\tfrac{4}{5}\sqrt{5}\Bigr)\,e^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\,t}.

Resposta

f(t)=-8+\Bigl(4+\frac{4}{5}\sqrt{5}\Bigr)\,e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}t} +\Bigl(4-\frac{4}{5}\sqrt{5}\Bigr)\,e^{\frac{-1-\sqrt{5}}{2}t}

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