Prove por indução que (1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right) \ldots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1 para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para provar, para todo n\in\mathbb{N}, a igualdade
(1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1.
As informações relevantes dadas são exatamente os fatores do produto: o primeiro fator é 1+1, o segundo é 1+\dfrac{1}{2}, o terceiro é 1+\dfrac{1}{3} e assim por diante até 1+\dfrac{1}{n}. O objetivo é mostrar que esse produto é igual a n+1 para todo n natural.

Passo 2

Explicação do que é prova por indução (resumida e didática):
  • A prova por indução funciona em duas partes: a base e o passo indutivo.
  • Base: verifica-se que a afirmação é verdadeira para um primeiro valor (normalmente n=1).
  • Passo indutivo: assume-se que a afirmação é verdadeira para um n genérico (chamado de hipótese de indução) e, a partir disso, prova-se que a afirmação vale para n+1.
    Se ambos os passos são feitos corretamente, conclui-se que a afirmação é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. É como subir uma escada: mostra-se que dá para subir o primeiro degrau (base) e que de qualquer degrau m dá para subir para m+1 (passo indutivo); daí chega-se a todos os degraus.

Passo 3

Base da indução ( n=1). Calcular ambos os lados quando n=1:
\text{LHS}=(1+1)=2, \qquad \text{RHS}=1+1=2.
Como \text{LHS}=\text{RHS}=2, a propriedade é verdadeira para n=1.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum m\in\mathbb{N} a igualdade seja verdadeira, isto é, suponha
(1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m}\right)=m+1.
Isto é a hipótese que usaremos para provar o caso m+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a igualdade vale para n=m+1.
Escrevemos o produto até m+1 e separamos o último fator:
(1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m}\right)\left(1+\frac{1}{m+1}\right).
Pela hipótese de indução, o produto dos primeiros m fatores é m+1. Substituindo:
(m+1)\left(1+\frac{1}{m+1}\right).
Agora fazemos a simplificação algébrica do fator entre parênteses. Primeiro escrevemos 1+\dfrac{1}{m+1} como fração única:
1+\frac{1}{m+1}=\frac{m+1}{m+1}+\frac{1}{m+1}=\frac{m+2}{m+1}.
Substituindo na expressão:
(m+1)\cdot\frac{m+2}{m+1}.
Aqui ocorre uma simplificação óbvia: o fator (m+1) no numerador cancela com o mesmo no denominador, restando
m+2.
Portanto mostramos que, a partir da hipótese de indução, o produto até m+1 vale m+2. Isso significa que se a propriedade vale para m então vale para m+1.

Passo 6

Conclusão da indução. Já verificamos a base ( n=1) e estabelecemos que a validade para m implica a validade para m+1. Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
(1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1
vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

(1+1)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1

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