Prove por indução que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, para todo
, a igualdade
As informações relevantes dadas são exatamente os fatores do produto: o primeiro fator é
, o segundo é
, o terceiro é
e assim por diante até
. O objetivo é mostrar que esse produto é igual a
para todo
natural.
Passo 2
Explicação do que é prova por indução (resumida e didática):
- A prova por indução funciona em duas partes: a base e o passo indutivo.
- Base: verifica-se que a afirmação é verdadeira para um primeiro valor (normalmente
). - Passo indutivo: assume-se que a afirmação é verdadeira para um
genérico (chamado de hipótese de indução) e, a partir disso, prova-se que a afirmação vale para .
Se ambos os passos são feitos corretamente, conclui-se que a afirmação é verdadeira para todo. É como subir uma escada: mostra-se que dá para subir o primeiro degrau (base) e que de qualquer degrau dá para subir para (passo indutivo); daí chega-se a todos os degraus.
Passo 3
Base da indução (
). Calcular ambos os lados quando
:
Como
, a propriedade é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum
a igualdade seja verdadeira, isto é, suponha
Isto é a hipótese que usaremos para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar que a igualdade vale para
.
Escrevemos o produto até
e separamos o último fator:
Pela hipótese de indução, o produto dos primeiros
fatores é
. Substituindo:
Agora fazemos a simplificação algébrica do fator entre parênteses. Primeiro escrevemos
como fração única:
Substituindo na expressão:
Aqui ocorre uma simplificação óbvia: o fator
no numerador cancela com o mesmo no denominador, restando
Portanto mostramos que, a partir da hipótese de indução, o produto até
vale
. Isso significa que se a propriedade vale para
então vale para
.
Passo 6
Conclusão da indução. Já verificamos a base (
) e estabelecemos que a validade para
implica a validade para
. Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
vale para todo
.