Seja E uma base ortonormal positiva. E sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores de coordenadas (1,2,3)_{E},(4,-1,2)_{E} e (-3,0,1)_{E}, respectivamente.
a) Seja \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A C}, Qual é a área do paralelogramo A B C D (onde \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A C} )?
b) Considere o prisma que tem lados A B, A C e A F ( \operatorname{com} \vec{w}=\overrightarrow{A F} ). Qual é a altura h deste tomando como base o paralelogramo A B C D ? E qual é o volume?
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos vetores na base ortonormal positiva E:
\vec{u}=(1,2,3)_{E}.
\vec{v}=(4,-1,2)_{E}.
\vec{w}=(-3,0,1)_{E}.
O que é pedido:
(a) A área do paralelogramo A B C D onde \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A C} (note que \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A C} descreve o paralelo ao lado A C).
(b) Para o prisma com aresta lateral \overrightarrow{A F}=\vec{w} e base o paralelogramo A B C D: calcular a altura h (distância perpendicular de F ao plano da base) e o volume do prisma.
Passo 2
Ideia essencial (explicação didática): num espaço com base ortonormal positiva, a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v} é o módulo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Por quê? O módulo do produto vetorial vale
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. E \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta é justamente a área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{v}. Então precisamos primeiro calcular \vec{u}\times\vec{v}.
Passo 3
Cálculo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usando a fórmula com determinante (cada componente calculada separadamente):
e lembrando que o sinal do termo médio troca (fórmula do componente y tem sinal negativo), então o componente y do vetor é -(-10)=10 quando se escreve em ordem padrão. Para z:
Então a área pedida é \sqrt{230}. (Se quiser aproximar: \sqrt{230}\approx15{,}1658.)
Passo 5
Explicação sobre altura h do prisma: a altura relativa à base paralelogramo é a componente de \vec{w} na direção perpendicular ao plano da base. O vetor perpendicular (não normalizado) ao plano da base é \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}. A projeção de \vec{w} nessa direção tem comprimento