Seja E uma base ortonormal positiva. E sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores de coordenadas (1,2,3)_{E},(4,-1,2)_{E} e (-3,0,1)_{E}, respectivamente.
a) Seja \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A C}, Qual é a área do paralelogramo A B C D (onde \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A C} )?
b) Considere o prisma que tem lados A B, A C e A F ( \operatorname{com} \vec{w}=\overrightarrow{A F} ). Qual é a altura h deste tomando como base o paralelogramo A B C D ? E qual é o volume?

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vetores na base ortonormal positiva E:
  • \vec{u}=(1,2,3)_{E}.
  • \vec{v}=(4,-1,2)_{E}.
  • \vec{w}=(-3,0,1)_{E}.
O que é pedido:
(a) A área do paralelogramo A B C D onde \vec{u}=\overrightarrow{A B} e \vec{v}=\overrightarrow{A C} (note que \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A C} descreve o paralelo ao lado A C).
(b) Para o prisma com aresta lateral \overrightarrow{A F}=\vec{w} e base o paralelogramo A B C D: calcular a altura h (distância perpendicular de F ao plano da base) e o volume do prisma.

Passo 2

Ideia essencial (explicação didática): num espaço com base ortonormal positiva, a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v} é o módulo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Por quê? O módulo do produto vetorial vale
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. E \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta é justamente a área do paralelogramo com lados \vec{u} e \vec{v}. Então precisamos primeiro calcular \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 3

Cálculo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usando a fórmula com determinante (cada componente calculada separadamente):
\vec{u}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}4\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Componentes de \vec{u}\times\vec{v}:
\begin{aligned} (\vec{u}\times\vec{v})_x &= 2\cdot 2 - 3\cdot(-1) = 4 + 3 = 7,\\[4pt] (\vec{u}\times\vec{v})_y &= 1\cdot 2 - 3\cdot 4 = 2 - 12 = -10, \end{aligned}
e lembrando que o sinal do termo médio troca (fórmula do componente y tem sinal negativo), então o componente y do vetor é -(-10)=10 quando se escreve em ordem padrão. Para z:
(\vec{u}\times\vec{v})_z = 1\cdot(-1) - 2\cdot 4 = -1 - 8 = -9.
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}7\\[2pt]10\\[2pt]-9\end{pmatrix}.
(Comentário amigo: se parecer muita conta, pense em cada componente como um pequeno determinante 2×2 — dá para fazer devagar na prova.)]

Passo 4

Agora a área do paralelogramo é o módulo desse vetor. Calculemos o módulo:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{7^{2}+10^{2}+(-9)^{2}}=\sqrt{49+100+81}=\sqrt{230}.
Então a área pedida é \sqrt{230}. (Se quiser aproximar: \sqrt{230}\approx15{,}1658.)

Passo 5

Explicação sobre altura h do prisma: a altura relativa à base paralelogramo é a componente de \vec{w} na direção perpendicular ao plano da base. O vetor perpendicular (não normalizado) ao plano da base é \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}. A projeção de \vec{w} nessa direção tem comprimento
h=\frac{\big|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}\big|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}.
Isso vem do fato de que a projeção de \vec{w} sobre o versor normal \hat{n}=(\vec{u}\times\vec{v})/\|\vec{u}\times\vec{v}\| é |\vec{w}\cdot\hat{n}|.

Passo 6

Calcular o produto escalar (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}. Pegamos \vec{u}\times\vec{v}=(7,10,-9) e \vec{w}=(-3,0,1). Então
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=7\cdot(-3)+10\cdot 0+(-9)\cdot 1=-21+0-9=-30.
Valor absoluto é |-30|=30.

Passo 7

Agora a altura:
h=\frac{30}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}=\frac{30}{\sqrt{230}}.
Podemos racionalizar se preferir:
h=\frac{30}{\sqrt{230}}=\frac{30\sqrt{230}}{230}=\frac{3\sqrt{230}}{23}.
Aproximação numérica: h\approx\frac{30}{15{,}1658}\approx1{,}98.

Passo 8

Volume do prisma: o volume é área da base vezes altura. Como a área da base é \|\vec{u}\times\vec{v}\| e a altura h acima, o produto dá
\text{Volume}= \|\vec{u}\times\vec{v}\|\cdot h = \big|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}\big|.
Já calculamos \big|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}\big|=30. Portanto o volume é 30.

Resposta

\text{(a) Área do paralelogramo}=\sqrt{230}.Á
\text{(b) Altura }h=\dfrac{30}{\sqrt{230}}=\dfrac{3\sqrt{230}}{23}.
\text{Volume}=30.

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