Q14: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I - O conjunto dos vetores com a segunda entrada igual a quarta é um subespaço vetorial do
(\mathbb{R}^{7}).
II - O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do
(\mathbb{R}^{7}).

Passo 1

O enunciado dá duas afirmações sobre subconjuntos de \mathbb{R}^7 e pede que se escolha a alternativa correta entre:
  • (A) Apenas I é verdadeira.
  • (B) Todas são falsas.
  • (C) Todas são verdadeiras.
  • (D) Apenas II é verdadeira.
  • (E) Não sei
As afirmativas são:
I - O conjunto dos vetores com a segunda entrada igual à quarta é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^7.
II - O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^7.
Informações relevantes dadas: os vetores são elementos de \mathbb{R}^7, ou seja, um vetor genérico tem a forma v=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7).

Passo 2

Lembrete (definição prática) — como verificar se um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial:
  1. S não é vazio (suficiente verificar que o vetor zero 0=(0,0,\dots,0) está em S).
  2. Fechamento por soma: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in S e c\in\mathbb{R} então c\,u\in S.
Se essas três propriedades valem, S é subespaço. Vou aplicar exatamente esses testes a cada afirmativa — passo a passo e sem pular etapas.

Passo 3

Verificação da afirmativa I.
Defina
S_1=\{v\in\mathbb{R}^7 \mid v_2=v_4\},
ou seja, para v=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7) exige-se x_2=x_4.
(a) Vetor zero: o vetor 0=(0,0,0,0,0,0,0) satisfaz 0_2=0=0_4, então 0\in S_1. Logo S_1 não é vazio.
(b) Fechamento por soma: sejam u=(u_1,\dots,u_7)\in S_1 e v=(v_1,\dots,v_7)\in S_1. Pelas hipóteses u_2=u_4 e v_2=v_4. Então a segunda componente de u+v é (u+v)_2=u_2+v_2 e a quarta componente é (u+v)_4=u_4+v_4. Como u_2=u_4 e v_2=v_4 tem-se
(u+v)_2 = u_2+v_2 = u_4+v_4 = (u+v)_4,
portanto u+v\in S_1. Fechamento por soma verificado.
(c) Fechamento por escalar: seja c\in\mathbb{R} e u\in S_1 com u_2=u_4. Então (c u)_2 = c\,u_2 e (c u)_4 = c\,u_4. Como u_2=u_4 segue (c u)_2 = (c u)_4, logo c u\in S_1.
Como as três propriedades valem, S_1 é subespaço de \mathbb{R}^7. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
(Comentário didático rápido: outra forma de ver isso é notar que S_1 é o conjunto de soluções da equação linear homogênea x_2-x_4=0, e o conjunto solução de equações lineares homogêneas é sempre subespaço.)

Passo 4

Verificação da afirmativa II.
Defina
S_2=\{v\in\mathbb{R}^7 \mid v_5=0,\; v_6=0,\; v_7=0\},
ou seja, para v=(x_1,\dots,x_7) exige-se x_5=x_6=x_7=0.
(a) Vetor zero: 0=(0,\dots,0) tem 0_5=0_6=0_7=0, logo 0\in S_2. Não é vazio.
(b) Fechamento por soma: seja u\in S_2 e v\in S_2. Então u_5=u_6=u_7=0 e v_5=v_6=v_7=0. Para u+v as componentes 5,6,7 são u_5+v_5=0+0=0, u_6+v_6=0, u_7+v_7=0. Logo u+v\in S_2.
(c) Fechamento por escalar: seja c\in\mathbb{R} e u\in S_2. As componentes 5,6,7 de c u são c\,u_5=c\cdot 0=0, etc. Portanto c u\in S_2.
Como todas as propriedades valem, S_2 é subespaço de \mathbb{R}^7. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Comentário didático: S_2 é justamente o subespaço formado por vetores cuja última três coordenadas são zero; esse subespaço é isomorfo a \mathbb{R}^4 — as primeiras quatro coordenadas podem ser escolhidas livremente — mas isso é só uma observação adicional.)

Passo 5

Conclusão combinada: verificou-se passo a passo que tanto I quanto II são verdadeiras. Portanto as duas afirmativas são verdadeiras simultaneamente.

Resposta

(C)

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