Q14: Considere as afirmativas abaixo:
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I - O conjunto dos vetores com a segunda entrada igual a quarta é um subespaço vetorial do
(\mathbb{R}^{7}).
II - O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do
(\mathbb{R}^{7}).
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
(E) Não sei
I - O conjunto dos vetores com a segunda entrada igual a quarta é um subespaço vetorial do
(\mathbb{R}^{7}).
II - O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial do
(\mathbb{R}^{7}).
Passo 1
O enunciado dá duas afirmações sobre subconjuntos de
e pede que se escolha a alternativa correta entre:
- (A) Apenas I é verdadeira.
- (B) Todas são falsas.
- (C) Todas são verdadeiras.
- (D) Apenas II é verdadeira.
- (E) Não sei
As afirmativas são:
I - O conjunto dos vetores com a segunda entrada igual à quarta é um subespaço vetorial de .
II - O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial de .
I - O conjunto dos vetores com a segunda entrada igual à quarta é um subespaço vetorial de
II - O conjunto dos vetores com as três últimas entradas iguais a zero é um subespaço vetorial de
Informações relevantes dadas: os vetores são elementos de
, ou seja, um vetor genérico tem a forma
.
Passo 2
Lembrete (definição prática) — como verificar se um subconjunto
é subespaço vetorial:
-
não é vazio (suficiente verificar que o vetor zero está em ). - Fechamento por soma: se
e então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e então .
Se essas três propriedades valem,
é subespaço. Vou aplicar exatamente esses testes a cada afirmativa — passo a passo e sem pular etapas.
Passo 3
Verificação da afirmativa I.
Defina
ou seja, para
exige-se
.
(a) Vetor zero: o vetor
satisfaz
, então
. Logo
não é vazio.
(b) Fechamento por soma: sejam
e
. Pelas hipóteses
e
. Então a segunda componente de
é
e a quarta componente é
. Como
e
tem-se
portanto
. Fechamento por soma verificado.
(c) Fechamento por escalar: seja
e
com
. Então
e
. Como
segue
, logo
.
Como as três propriedades valem,
é subespaço de
. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
(Comentário didático rápido: outra forma de ver isso é notar que
é o conjunto de soluções da equação linear homogênea
, e o conjunto solução de equações lineares homogêneas é sempre subespaço.)
Passo 4
Verificação da afirmativa II.
Defina
ou seja, para
exige-se
.
(a) Vetor zero:
tem
, logo
. Não é vazio.
(b) Fechamento por soma: seja
e
. Então
e
. Para
as componentes 5,6,7 são
,
,
. Logo
.
(c) Fechamento por escalar: seja
e
. As componentes 5,6,7 de
são
, etc. Portanto
.
Como todas as propriedades valem,
é subespaço de
. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Comentário didático:
é justamente o subespaço formado por vetores cuja última três coordenadas são zero; esse subespaço é isomorfo a
— as primeiras quatro coordenadas podem ser escolhidas livremente — mas isso é só uma observação adicional.)
Passo 5
Conclusão combinada: verificou-se passo a passo que tanto I quanto II são verdadeiras. Portanto as duas afirmativas são verdadeiras simultaneamente.
Resposta
(C)