Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LI, então
não tem solução.
II. Se
é LD, então
tem infinitas solução.
III. Se
é LD, então
pode ter solução única.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Todas são falsas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que cada afirmação pergunta.
- Dado
. - Dois sistemas lineares descritos por matrizes aumentadas:
-
(sistema homogêneo com as três colunas como coeficientes e vetor nulo como termo independente). -
(sistema não-homogêneo que procura escalares tais que ).
-
- As afirmativas a analisar:
I. Seé LI, então não tem solução.
II. Seé LD, então tem infinitas solução.
III. Seé LD, então pode ter solução única.
O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras.
Passo 2
Relembrando definições essenciais (com explicação bem passo a passo).
- Definição de independência linear:
é linearmente independente (LI) se a única solução do sistema
é
. Em outras palavras, nenhuma das
pode ser escrita como combinação linear das outras.
- Definição de dependência linear:
é linearmente dependente (LD) se existem escalares não todos nulos tais que
Isso implica que pelo menos um vetor é combinação linear dos outros (mais precisamente: se algum
, então
é combinação linear dos demais).
- Interpretação dos sistemas:
-
é o sistema homogêneo associado às colunas . A existência de solução não-trivial para é exatamente a definição de dependência linear das colunas. -
pergunta se existe tal que
isto é, se pertence ao subespaço . -
Passo 3
Análise detalhada da afirmativa I: “Se
é LI, então
não tem solução.”
- Se
é LI, por definição nenhuma das três vetores é combinação linear das outras duas. Em particular, não pode ser escrito como combinação linear de e . - O sistema
tem solução exatamente quando . Como quando é LI, concluímos que não tem solução. - Conclusão parcial: a afirmativa I é verdadeira.
(Comentário intuitivo: pensar nas três colunas como vetores; se são independentes, o terceiro está “fora” do plano gerado pelos dois primeiros, então não dá para escrevê-lo como combinação dos dois.)
Passo 4
Análise da afirmativa II: “Se
é LD, então
tem infinitas solução.”
- Como
é LD, existe pelo menos uma relação não-trivial
com nem todos os
nulos.
- Se nessa relação
, então podemos resolver para :
ou seja,
. Nesse caso
tem pelo menos uma solução; a natureza (única ou infinita) depende de se
são independentes ou não.
- Se na relação
e, por exemplo, e não são ambos zero, então já há dependência entre e sem envolver . Nesse caso pode muito bem NÃO estar em , logo pode não ter solução. - Portanto, a hipótese "
é LD" por si só não garante que . Logo não é garantido que tenha soluções, muito menos que tenha infinitas soluções. - Para ficar mais concreto, um contraexemplo simples em
(com muitos zeros) ilustra que pode não ter solução mesmo que seja LD: - Tome
, e . - Então
é LD porque (relação não-trivial com ). Porém não pertence ao span , então não tem solução.
- Tome
- Conclusão parcial: a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Análise da afirmativa III: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
- Lembrar:
é o sistema homogêneo
- Um sistema homogêneo tem sempre a solução trivial
. Essa solução é única exatamente quando as colunas são linearmente independentes. - Se
é LD, por definição existe uma solução não-trivial para esse sistema; portanto não pode ser que a solução seja única. Na verdade, sempre haverá infinitas soluções quando há dependência linear (já que existe pelo menos uma variável livre na resolução do sistema). - Assim, a afirmativa III, que diz que quando
é LD o sistema “pode ter solução única”, é falsa: se é LD, tem soluções não-triviais e não pode ter apenas a solução trivial. - Conclusão parcial: a afirmativa III é falsa.
Passo 6
Recapitulando os resultados das análises:
- I é verdadeira.
- II é falsa (contraexemplo fornecido).
- III é falsa (pois LD implica existência de solução não-trivial para
).
Passo 7
Interpretação final e resposta da questão de múltipla escolha.
- Apenas a afirmativa I é verdadeira; as afirmativas II e III são falsas. Portanto a alternativa correta é a que indica “Só I é verdadeira”.
Resposta
(A)