Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{6} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] \text {. }
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
II. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
III. Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Todas são falsas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que cada afirmação pergunta.
  • Dado \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{6}.
  • Dois sistemas lineares descritos por matrizes aumentadas:
    • S_{1}:\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0}\end{array}\right] (sistema homogêneo com as três colunas como coeficientes e vetor nulo como termo independente).
    • S_{2}:\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3}\end{array}\right] (sistema não-homogêneo que procura escalares a,b tais que a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}).
  • As afirmativas a analisar:
    I. Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
    II. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
    III. Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras.

Passo 2

Relembrando definições essenciais (com explicação bem passo a passo).
  • Definição de independência linear: \beta é linearmente independente (LI) se a única solução do sistema
c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}
é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Em outras palavras, nenhuma das \vec{v}_{i} pode ser escrita como combinação linear das outras.
  • Definição de dependência linear: \beta é linearmente dependente (LD) se existem escalares não todos nulos c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
Isso implica que pelo menos um vetor é combinação linear dos outros (mais precisamente: se algum c_{j}\neq0, então \vec{v}_{j} é combinação linear dos demais).
  • Interpretação dos sistemas:
    • S_{1} é o sistema homogêneo associado às colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}. A existência de solução não-trivial para S_{1} é exatamente a definição de dependência linear das colunas.
    • S_{2} pergunta se existe (a,b) tal que
    a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3},isto é, se \vec{v}_{3} pertence ao subespaço \operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.

Passo 3

Análise detalhada da afirmativa I: “Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.”
  • Se \beta é LI, por definição nenhuma das três vetores é combinação linear das outras duas. Em particular, \vec{v}_{3} não pode ser escrito como combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
  • O sistema S_{2} tem solução exatamente quando \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Como \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} quando \beta é LI, concluímos que S_{2} não tem solução.
  • Conclusão parcial: a afirmativa I é verdadeira.
(Comentário intuitivo: pensar nas três colunas como vetores; se são independentes, o terceiro está “fora” do plano gerado pelos dois primeiros, então não dá para escrevê-lo como combinação dos dois.)

Passo 4

Análise da afirmativa II: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.”
  • Como \beta é LD, existe pelo menos uma relação não-trivial
c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0},
com nem todos os c_{i} nulos.
  • Se nessa relação c_{3}\neq0, então podemos resolver para \vec{v}_{3}:
\vec{v}_{3}=-\frac{c_{1}}{c_{3}}\vec{v}_{1}-\frac{c_{2}}{c_{3}}\vec{v}_{2},
ou seja, \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Nesse caso S_{2} tem pelo menos uma solução; a natureza (única ou infinita) depende de se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são independentes ou não.
  • Se na relação c_{3}=0 e, por exemplo, c_{1} e c_{2} não são ambos zero, então já há dependência entre \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} sem envolver \vec{v}_{3}. Nesse caso \vec{v}_{3} pode muito bem NÃO estar em \operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, logo S_{2} pode não ter solução.
  • Portanto, a hipótese " \beta é LD" por si só não garante que \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Logo não é garantido que S_{2} tenha soluções, muito menos que tenha infinitas soluções.
  • Para ficar mais concreto, um contraexemplo simples em \mathbb{R}^{6} (com muitos zeros) ilustra que S_{2} pode não ter solução mesmo que \beta seja LD:
    • Tome \vec{v}_{1}=(1,0,0,0,0,0), \vec{v}_{2}=(1,0,0,0,0,0) e \vec{v}_{3}=(0,1,0,0,0,0).
    • Então \beta é LD porque \vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}=\overrightarrow{0} (relação não-trivial com c_{3}=0). Porém \vec{v}_{3} não pertence ao span \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}=\operatorname{span}\{(1,0,\dots)\}, então S_{2} não tem solução.
  • Conclusão parcial: a afirmativa II é falsa.

Passo 5

Análise da afirmativa III: “Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.”
  • Lembrar: S_{1} é o sistema homogêneo
x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
  • Um sistema homogêneo tem sempre a solução trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Essa solução é única exatamente quando as colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são linearmente independentes.
  • Se \beta é LD, por definição existe uma solução não-trivial para esse sistema; portanto não pode ser que a solução seja única. Na verdade, sempre haverá infinitas soluções quando há dependência linear (já que existe pelo menos uma variável livre na resolução do sistema).
  • Assim, a afirmativa III, que diz que quando \beta é LD o sistema S_{1} “pode ter solução única”, é falsa: se \beta é LD, S_{1} tem soluções não-triviais e não pode ter apenas a solução trivial.
  • Conclusão parcial: a afirmativa III é falsa.

Passo 6

Recapitulando os resultados das análises:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa (contraexemplo fornecido).
  • III é falsa (pois LD implica existência de solução não-trivial para S_{1}).

Passo 7

Interpretação final e resposta da questão de múltipla escolha.
  • Apenas a afirmativa I é verdadeira; as afirmativas II e III são falsas. Portanto a alternativa correta é a que indica “Só I é verdadeira”.

Resposta

(A)

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