Prove por Induçāo Finita que \sum_{i=1}^{n-1} i(i+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}, \forall n \in \mathbb{Z}, com n \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução finita que
\sum_{i=1}^{n-1} i(i+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3},\quad \forall n\in\mathbb{Z},\\ n\ge 2.
Informações dadas e o que devemos mostrar:
  • A expressão somada é \sum_{i=1}^{n-1} i(i+1).
  • A fórmula fechada proposta é \dfrac{n(n-1)(n+1)}{3}.
  • O domínio de validade pedido é n\in\mathbb{Z} com n\ge 2.
  • Devemos usar o método de indução finita (indução matemática) para provar que a igualdade vale para todo n nesse domínio.

Passo 2

Breve explicação do método de indução (para ficar confortável com a técnica):
  • Indução consiste em duas partes principais: passo base e passo indutivo.
  • Passo base: mostrar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor n=2.
  • Passo indutivo: assumir que a propriedade é verdadeira para um certo k\ge 2 (hipótese de indução) e então provar que, sob essa hipótese, a propriedade é verdadeira para k+1.
  • Se as duas partes forem demonstradas, conclui-se que a propriedade vale para todo n\ge 2.

Passo 3

Passo base ( n=2). Calcular os dois lados e verificar que coincidem.
\sum_{i=1}^{2-1} i(i+1)=\sum_{i=1}^{1} i(i+1)=1\cdot2=2.
\text{Direita: }\frac{2(2-1)(2+1)}{3}=\frac{2\cdot1\cdot3}{3}=2.
Como os dois lados são iguais (ambos valem 2), a propriedade é verdadeira para n=2.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge 2 vale
\sum_{i=1}^{k-1} i(i+1)=\frac{k(k-1)(k+1)}{3}.
Essa é a hipótese que vamos usar para provar o caso k+1.

Passo 5

Passo indutivo: provar que a hipótese implica o caso k+1. Começamos escrevendo a soma até k como soma até k-1 mais o último termo:
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=\sum_{i=1}^{k-1} i(i+1)+k(k+1).
Agora substituímos a hipótese de indução na soma até k-1:
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=\frac{k(k-1)(k+1)}{3}+k(k+1).
Fatorando k(k+1) em evidência:
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=k(k+1)\left(\frac{k-1}{3}+1\right).
Colocando em denominador comum:
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=k(k+1)\left(\frac{k-1+3}{3}\right)=k(k+1)\frac{k+2}{3}.
Reescrevendo, obtemos
\sum_{i=1}^{k} i(i+1)=\frac{(k+1)k(k+2)}{3}.
Note que isso é exatamente a fórmula desejada para n=k+1, pois
\frac{(k+1)\big((k+1)-1\big)\big((k+1)+1\big)}{3}=\frac{(k+1)k(k+2)}{3}.
Portanto, se a fórmula vale para k então vale para k+1.

Passo 6

Conclusão por indução. Demonstramos o passo base ( n=2) e o passo indutivo (caso k\Rightarrow k+1). Pelo princípio da indução finita, a fórmula
\sum_{i=1}^{n-1} i(i+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}
é verdadeira para todo n\in\mathbb{Z} com n\ge 2.

Passo 7

Verificação numérica rápida para fixar a ideia (opcional, mas útil): para n=4,
\sum_{i=1}^{3} i(i+1)=1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4=2+6+12=20,
e a fórmula dá
\frac{4\cdot3\cdot5}{3}=\frac{60}{3}=20,
concordando com a soma direta. Força aí — já está provado e testado!

Resposta

\sum_{i=1}^{n-1} i(i+1)=\frac{n(n-1)(n+1)}{3}

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