Prove por Induçāo Finita que
, com
.
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução finita que
Informações dadas e o que devemos mostrar:
- A expressão somada é
. - A fórmula fechada proposta é
. - O domínio de validade pedido é
com . - Devemos usar o método de indução finita (indução matemática) para provar que a igualdade vale para todo
nesse domínio.
Passo 2
Breve explicação do método de indução (para ficar confortável com a técnica):
- Indução consiste em duas partes principais: passo base e passo indutivo.
- Passo base: mostrar que a propriedade é verdadeira para o primeiro valor
. - Passo indutivo: assumir que a propriedade é verdadeira para um certo
(hipótese de indução) e então provar que, sob essa hipótese, a propriedade é verdadeira para . - Se as duas partes forem demonstradas, conclui-se que a propriedade vale para todo
.
Passo 3
Passo base (
). Calcular os dois lados e verificar que coincidem.
Como os dois lados são iguais (ambos valem
), a propriedade é verdadeira para
.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum
vale
Essa é a hipótese que vamos usar para provar o caso
.
Passo 5
Passo indutivo: provar que a hipótese implica o caso
. Começamos escrevendo a soma até
como soma até
mais o último termo:
Agora substituímos a hipótese de indução na soma até
:
Fatorando
em evidência:
Colocando em denominador comum:
Reescrevendo, obtemos
Note que isso é exatamente a fórmula desejada para
, pois
Portanto, se a fórmula vale para
então vale para
.
Passo 6
Conclusão por indução. Demonstramos o passo base (
) e o passo indutivo (caso
). Pelo princípio da indução finita, a fórmula
é verdadeira para todo
com
.
Passo 7
Verificação numérica rápida para fixar a ideia (opcional, mas útil): para
,
e a fórmula dá
concordando com a soma direta. Força aí — já está provado e testado!