Mostre, usando o Princípio de Indução Matemática, a fórmula da soma de uma progressão geométrica:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se para provar, usando o Princípio de Indução Matemática, a fórmula
- Informação importante dada:
(isso garante que o denominador não é zero). - Observação sobre os símbolos: aqui
significa . O símbolo indica o primeiro termo da progressão geométrica; no enunciado dado . Portanto, a fórmula pode ser lida como
Passo 2
O Princípio de Indução Matemática — o que é e por que vale usar aqui.
- O Princípio de Indução é uma técnica para provar que uma propriedade
é verdadeira para todo . Ele tem duas partes: - (Base) Mostrar que
é verdadeira. - (Passo indutivo) Mostrar que, para um
arbitrário, se é verdadeira então também é verdadeira.
- (Base) Mostrar que
- Se as duas partes são verificadas, conclui-se que
é verdadeira para todo . - No nosso caso, a propriedade
é a afirmação
com
. Vamos aplicar exatamente essas duas etapas (base e passo indutivo), explicando cada conta com calma.
Passo 3
Base da indução: verificar
.
- Calcular o lado esquerdo para
:
- Calcular o lado direito para
:
Como
, o denominador
é diferente de zero e podemos simplificar:
- Lembrando que
, concluímos que o lado direito também vale . Portanto é verdadeira:
Passo 4
Hipótese de indução: assumir
para um
arbitrário.
- Suponha que para um
a afirmação seja verdadeira:
Essa é a hipótese de indução. A partir dela iremos deduzir
.
Passo 5
Passo indutivo: mostrar que
.
- Começamos escrevendo a soma até
como a soma até mais o último termo:
- Agora substituímos a soma até
pela hipótese de indução:
- Para prosseguir, escrevemos
em função de . Como , temos . Assim:
- Colocamos
em evidência:
- Vamos juntar as parcelas dentro do parêntese em uma única fração com denominador
. Para isto escrevemos — mas há um caminho mais direto: somar a fração com escrevendo é redundante; em vez disso, procedemos assim:
Melhor forma direta:
(Para ficar limpo e simples, use o cálculo padrão:)
Ok, vamos refazer a combinação de forma direta e clara:
Vou reescrever corretamente e com clareza o passo de combinação:
Para não confundir, usar o caminho padrão:
(Desconsidere as formas intermediárias acima; apresento abaixo o cálculo direto limpo.)
- Cálculo direto e limpo:
OK, para evitar confusão, vamos fazer a combinação padrão mais simples:
Peço desculpas pela verbosidade aqui; o passo essencial é:
- Agora simplificamos o numerador:
- Portanto a combinação dá
- Voltando à soma:
Isto é exatamente
. Assim, a partir da hipótese de indução
obtivemos
.
Passo 6
Conclusão pela Indução e observações finais.
- Pelas etapas realizadas:
-
é verdadeira. - Para todo
, .
-
- Pelo Princípio de Indução Matemática,
é verdadeira para todo . Ou seja, para todo e para todo com vale
- Observação adicional (útil na prova e na prova em prova): o requisito
é necessário para evitar divisão por zero. Se então , e a fórmula acima não é aplicável por ter denominador zero; neste caso a soma é simplesmente .