Se o raio da base de um cilindro circular reto é 50 cm qual é a taxa de variação do volume em relação à altura, quando esta for de 100 cm ?
Passo 1
O enunciado dá o raio da base do cilindro e pede a taxa de variação do volume em relação à altura no instante em que a altura vale
.
Informações fornecidas:
- Raio da base:
. - Altura em que se quer a taxa:
.
O que é pedido:
- Calcular a taxa de variação
do volume em relação à altura quando .
Passo 2
Fórmula do volume de um cilindro circular reto.
O volume de um cilindro é a área da base multiplicada pela altura. A base é um círculo de raio
, cuja área é
. Portanto a fórmula do volume é
Explicando os símbolos:
-
é o volume, em . -
é o raio da base, em . -
é a altura, em . -
é a constante geométrica (aprox. ).
Passo 3
O que significa “taxa de variação do volume em relação à altura”.
A taxa
indica quanto o volume aumenta (em
) quando a altura aumenta de
. As unidades de
são
. Um exemplo simples para intuir: se a área da base fosse
, subir a altura em
aumentaria o volume em
, então
.
Passo 4
Derivação do volume em relação à altura (a conta geral).
Na expressão
o raio
é dado (constante) e a variável é
. Assim estamos diante de uma função linear em
do tipo
com
constante. A regra básica de derivação que usamos é: a derivada de
em relação a
é
. Portanto
Isto significa, em palavras: a taxa de variação do volume por unidade de altura é exatamente a área da base (
).
Passo 5
Substituir o valor do raio e avaliar no caso pedido.
Dado
, calculamos
:
Substituindo em
obtemos
Observação importante: essa expressão não depende de
, ou seja, a taxa de variação é a mesma para qualquer altura; portanto no caso
continua valendo
.
Passo 6
Aproximação numérica (opcional, para ter uma ideia do valor em números).
Usando
,