(2,0) Se o raio da base de um cilindro circular reto é 50 cm qual é a taxa de variação do volume em relação à altura, quando esta for de 100 cm ?

Passo 1

O enunciado dá o raio da base do cilindro e pede a taxa de variação do volume em relação à altura no instante em que a altura vale 100\\ \text{cm}.
Informações fornecidas:
  • Raio da base: r=50\\ \text{cm}.
  • Altura em que se quer a taxa: h=100\\ \text{cm}.
O que é pedido:
  • Calcular a taxa de variação \dfrac{dV}{dh} do volume V em relação à altura h quando h=100\\ \text{cm}.

Passo 2

Fórmula do volume de um cilindro circular reto.
O volume de um cilindro é a área da base multiplicada pela altura. A base é um círculo de raio r, cuja área é \pi r^{2}. Portanto a fórmula do volume é
V=\pi r^{2}h.
Explicando os símbolos:
  • V é o volume, em \text{cm}^{3}.
  • r é o raio da base, em \text{cm}.
  • h é a altura, em \text{cm}.
  • \pi é a constante geométrica (aprox. 3{,}14159).

Passo 3

O que significa “taxa de variação do volume em relação à altura”.
A taxa \dfrac{dV}{dh} indica quanto o volume aumenta (em \text{cm}^{3}) quando a altura aumenta de 1\\ \text{cm}. As unidades de \dfrac{dV}{dh} são \text{cm}^{3}/\text{cm}=\text{cm}^{2}. Um exemplo simples para intuir: se a área da base fosse 10\\ \text{cm}^{2}, subir a altura em 1\\ \text{cm} aumentaria o volume em 10\\ \text{cm}^{3}, então \dfrac{dV}{dh}=10\\ \text{cm}^{2}.

Passo 4

Derivação do volume em relação à altura (a conta geral).
Na expressão \,V=\pi r^{2}h\,, o raio r é dado (constante) e a variável é h. Assim estamos diante de uma função linear em h do tipo V=k\cdot h com k=\pi r^{2} constante. A regra básica de derivação que usamos é: a derivada de k\cdot h em relação a h é k. Portanto
\frac{dV}{dh}=\pi r^{2}.
Isto significa, em palavras: a taxa de variação do volume por unidade de altura é exatamente a área da base ( \pi r^{2}).

Passo 5

Substituir o valor do raio e avaliar no caso pedido.
Dado r=50\\ \text{cm}, calculamos r^{2}:
r^{2}=50^{2}=2500.
Substituindo em \dfrac{dV}{dh}=\pi r^{2} obtemos
\frac{dV}{dh}=\pi\cdot 2500=2500\pi\\ \text{cm}^{2}.
Observação importante: essa expressão não depende de h, ou seja, a taxa de variação é a mesma para qualquer altura; portanto no caso h=100\\ \text{cm} continua valendo 2500\pi\\ \text{cm}^{2}.

Passo 6

Aproximação numérica (opcional, para ter uma ideia do valor em números).
Usando \pi\approx3{,}14159265,
2500\pi\approx7853{,}9816\\ \text{cm}^{2}.

Resposta

2500\pi\\ \text{cm}^{2} (aproximadamente 7853{,}9816\\ \text{cm}^{2})

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