Prove por indução que se 
  então
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução, que para qualquer 
 , a expressão 
  é maior ou igual a 
 . Esse tipo de prova está dentro do conteúdo de Matemática Discreta ou Álgebra, especificamente utilizando Prova por Indução Matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar a expansão binomial para comparar os dois lados da desigualdade.
Passo 2
Vamos começar verificando o caso base da indução, ou seja, quando 
 . No caso base, substituímos 
  por 1 na desigualdade:
Simplificando:
Isso é verdade, já que ambos os lados são iguais. Portanto, o caso base está comprovado.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a desigualdade é válida para algum inteiro positivo 
 . Ou seja, hipótese de indução:
Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdadeiro para 
 , então também será verdadeiro para 
 .
Passo 4
Vamos considerar a expressão para 
 :
Usando a hipótese de indução, sabemos que 
 . Vamos multiplicar ambos os lados dessa desigualdade por 
 :
Passo 5
Agora, vamos expandir o lado direito da desigualdade:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, queremos mostrar que essa expressão é pelo menos 
 . Observamos que:
Isso ocorre porque 
  e 
 , já que todos os termos são não negativos.
Passo 7
Portanto, temos que:
Isso mostra que se a desigualdade vale para 
 , ela também vale para 
 .
Resposta
Assim, pela Prova por Indução Matemática, demonstramos que para todo inteiro 
  e 
 , a desigualdade 
  é válida.