Prove a recíproca do exercício anterior. Isto é, mostre que dados quaisquer vetores não nulos 
  e 
 , se 
 , então 
  é agudo. Enuncie e prove resultado semelhante supondo que 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a recíproca do que vimos antes sobre vetores. Estamos trabalhando com produto escalar de vetores e o ângulo entre eles. O que precisamos é mostrar que:
- Se o produto escalar 
, então o ângulo entre e é agudo.  - Se o produto escalar 
, então o ângulo entre e é obtuso.  
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona o produto escalar dos vetores 
  e 
  com o ângulo 
  entre eles:
Aqui, 
  e 
  são as normas (ou magnitudes) dos vetores 
  e 
 , respectivamente. Essa fórmula é fundamental para relacionar o produto escalar com o ângulo entre os vetores.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte: se 
 , então 
  é agudo.
Dado que 
  e 
  são vetores não nulos, suas magnitudes são positivas, ou seja, 
  e 
 . A partir da fórmula do produto escalar:
Como 
  e 
 , podemos dividir ambos os lados por 
  sem alterar a desigualdade:
Sabemos que o cosseno de um ângulo é positivo quando o ângulo está entre 
  e 
 , ou seja, quando o ângulo é agudo. Portanto, se 
 , então 
  é agudo.
Passo 4
Agora vamos para a segunda parte: se 
 , então 
  é obtuso.
Usando a mesma fórmula do produto escalar:
Dessa vez, sabemos que 
  e, novamente, 
 . Então, ao dividir ambos os lados por 
 , temos:
O cosseno de um ângulo é negativo quando o ângulo está entre 
  e 
 , ou seja, o ângulo é obtuso. Portanto, se 
 , então 
  é obtuso.
Resposta
Concluímos que:
- Se 
, então o ângulo entre e é agudo.  - Se 
, então o ângulo entre e é obtuso.