Exercício 3.37 Considere as seguintes funções
. Mostre que o conjunto
é linearmente independente no espaço vetorial real
. Entretanto, é linearmente dependente em
e em
.
Passo 1
O enunciado define as funções
e
e pede para verificar a independência linear do conjunto
em
e sua dependência linear em
e em
. Vamos usar a definição:
é linearmente independente se, sempre que
então necessariamente
.
Passo 2
Começamos em
. Suponha que existam escalares
tais que
Como
, note que em
temos
e em
temos
. Vamos separar os dois casos.
Passo 3
Para
,
, logo
. A combinação fica
Como
para
, conclui-se que
Passo 4
Para
,
, logo
. A combinação fica
Novamente
para
, e daí
Passo 5
Do sistema
temos
. Portanto não há combinação linear não trivial que anule ambas as funções em
, ou seja,
é linearmente independente em
.
Passo 6
Agora em
: para todo
temos
, então
Isso mostra que
e
são a mesma função em
. Logo existe combinação não trivial, por exemplo
com
e
nem ambos zero. Assim
é linearmente dependente em
.
Passo 7
Em
: para
temos
, então
Logo
é múltiplo escalar de
e existe combinação não trivial, por exemplo
com coeficientes não ambos zero. Portanto
é linearmente dependente em
.