Exercício 3.37 Considere as seguintes funções f(x)=x^{2} \quad e \quad g(x)=x|x|. Mostre que o conjunto S=\{f(x), g(x)\} é linearmente independente no espaço vetorial real \mathcal{C}([-1,1]). Entretanto, é linearmente dependente em \mathcal{C}([0,1]) e em \mathcal{C}([-1,0]).

Passo 1

O enunciado define as funções f\colon x\mapsto x^2 e g\colon x\mapsto x|x| e pede para verificar a independência linear do conjunto S=\{f,g\} em \mathcal{C}([-1,1]) e sua dependência linear em \mathcal{C}([0,1]) e em \mathcal{C}([-1,0]). Vamos usar a definição: S é linearmente independente se, sempre que
a\,f(x)+b\,g(x)=0\quad\text{para todo }x\text{ no domínio},í
então necessariamente a=b=0.

Passo 2

Começamos em \mathcal{C}([-1,1]). Suponha que existam escalares a,b tais que
a\,f(x)+b\,g(x)=0 \quad\forall x\in[-1,1].
Como g(x)=x|x|, note que em x>0 temos |x|=x e em x<0 temos |x|=-x. Vamos separar os dois casos.

Passo 3

Para x>0, |x|=x, logo g(x)=x\cdot x=x^2. A combinação fica
a\,x^2 + b\,x^2 = (a+b)\,x^2 = 0 \quad\forall x>0.
Como x^2>0 para x\neq0, conclui-se que
a + b = 0.

Passo 4

Para x<0, |x|=-x, logo g(x)=x\cdot(-x)=-x^2. A combinação fica
a\,x^2 + b\,(-x^2) = (a - b)\,x^2 = 0 \quad\forall x<0.
Novamente x^2>0 para x\neq0, e daí
a - b = 0.

Passo 5

Do sistema
\begin{cases} a + b = 0,\\\ a - b = 0, \end{cases}
temos a=b=0. Portanto não há combinação linear não trivial que anule ambas as funções em [-1,1], ou seja, S é linearmente independente em \mathcal{C}([-1,1]).

Passo 6

Agora em \mathcal{C}([0,1]): para todo x\in[0,1] temos |x|=x, então
g(x)=x|x|=x^2=f(x).
Isso mostra que g e f são a mesma função em [0,1]. Logo existe combinação não trivial, por exemplo
1\cdot f(x) + (-1)\cdot g(x) = x^2 - x^2 = 0,
com 1 e -1 nem ambos zero. Assim S é linearmente dependente em \mathcal{C}([0,1]).

Passo 7

Em \mathcal{C}([-1,0]): para x\in[-1,0] temos |x|=-x, então
g(x)=x\cdot(-x)=-x^2 = -f(x).
Logo g é múltiplo escalar de f e existe combinação não trivial, por exemplo
1\cdot f(x) + 1\cdot g(x) = x^2 + (-x^2) = 0,
com coeficientes não ambos zero. Portanto S é linearmente dependente em \mathcal{C}([-1,0]).

Resposta

S=\{f,g\} é linearmente independente em \mathcal{C}([-1,1]) e é linearmente dependente em \mathcal{C}([0,1]) e em \mathcal{C}([-1,0]).

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