Prove, por indução sobre n, que n^{3}+2 n é sempre divisível por 3 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, por indução em n, que o número
n^{3} + 2n
é sempre divisível por 3.
Este é um clássico de indução matemática: definimos a propriedade
P(n):\;3 \mid \bigl(n^{3} + 2n\bigr)
e provamos que ela vale para todo inteiro n\ge1.

Passo 2

Base da indução n=1:
1^{3} + 2\cdot1 = 1 + 2 = 3,
e 3 é obviamente divisível por 3. Logo, P(1) é verdadeira.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para um certo k\ge1, já sabemos que
3 \mid \bigl(k^{3} + 2k\bigr).
Isto é, existe um inteiro m tal que
k^{3} + 2k = 3m.

Passo 4

Passo indutivo: precisamos mostrar que P(k+1) vale, ou seja,
3 \mid \bigl((k+1)^{3} + 2(k+1)\bigr).
Calculemos:
(k+1)^{3} + 2(k+1) = k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \bigl(k^{3} + 2k\bigr) + 3\bigl(k^{2} + k + 1\bigr).
Pela hipótese de indução, k^{3}+2k = 3m. Além disso, 3\bigl(k^{2}+k+1\bigr) é múltiplo de 3. Somando dois múltiplos de 3, o resultado continua múltiplo de 3. Logo,
3 \mid \bigl((k+1)^{3} + 2(k+1)\bigr),
isto é, P(k+1) é verdadeira.

Passo 5

Pelo princípio da indução finita, como P(1) vale e P(k)\implies P(k+1), concluímos que P(n) é verdadeira para todo inteiro n\ge1.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, o número n^{3}+2n é divisível por 3.

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