Prove, por indução sobre
, que
é sempre divisível por 3 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, por indução em
, que o número
é sempre divisível por 3.
Este é um clássico de indução matemática: definimos a propriedade
Este é um clássico de indução matemática: definimos a propriedade
e provamos que ela vale para todo inteiro
.
Passo 2
Base da indução
:
e
é obviamente divisível por
. Logo,
é verdadeira.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para um certo
, já sabemos que
Isto é, existe um inteiro
tal que
Passo 4
Passo indutivo: precisamos mostrar que
vale, ou seja,
Calculemos:
Pela hipótese de indução,
. Além disso,
é múltiplo de
. Somando dois múltiplos de
, o resultado continua múltiplo de
. Logo,
isto é,
é verdadeira.
Passo 5
Pelo princípio da indução finita, como
vale e
, concluímos que
é verdadeira para todo inteiro
.
Resposta
Para todo
, o número
é divisível por
.