Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} :
X=\{(a, a, 0): a \in \mathbb{R}\};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
X = \{(a,a,0)\mid a\in\mathbb{R}\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar o critério padrão:
  1. X não pode ser vazio (tem que conter o vetor zero).
  2. X deve ser fechado sob soma de vetores.
  3. X deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em X. Basta tomar a=0, pois
(0,0,0) = (a,a,0)\quad\text{com }a=0.
Logo, (0,0,0)\in X e X\neq\emptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam (a,a,0) e (b,b,0) dois vetores em X. Então
(a,a,0)+(b,b,0) = (a+b,\;a+b,\;0).
Como a+b\in\mathbb{R}, o resultado é da forma (c,c,0) com c=a+b. Logo a soma permanece em X.

Passo 4

Fechamento sob escalar: tome \lambda\in\mathbb{R} e (a,a,0)\in X. Então
\lambda\,(a,a,0) = (\lambda a,\;\lambda a,\;0).
Como \lambda a\in\mathbb{R}, esse vetor também é da forma (d,d,0) com d=\lambda a. Logo \lambda(a,a,0)\in X.

Passo 5

Como X contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que X é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

X é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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