Seja
e
. Definimos potencia não negativa de
do seguinte modo:
Prove que:
Passo 1
O enunciado define, para
em
e
, a potência de
por:
Queremos provar que
O conteúdo é a propriedade de soma de expoentes em potências, e vamos usar indução em
, deixando
fixo.
Passo 2
Caso base
.
Pela definição, . Logo, para qualquer
,
Pela definição,
Portanto a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que, para algum , já sabemos que
Suponha que, para algum
Passo 4
Passo de indução.
Precisamos mostrar que a hipótese implica
Precisamos mostrar que a hipótese implica
Usando a definição de potência de expoente
e associatividade do produto em
, temos
pela associatividade. Pela hipótese de indução,
Novamente pela definição de potência,
. Assim o passo de indução fecha.
Resposta
Como o caso base e o passo de indução foram verificados, por indução em
concluímos que
para todos
.