Seja a \neq 0 \in \mathbb{Z} e m \in \mathbb{N}. Definimos potencia não negativa de a do seguinte modo:
a^{0}=1, a^{1}=a, a^{m}=\underbrace{a \cdot a \ldots a}_{m \text { vezes }} \text { se } m \geq 2
Prove que:
a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n} \quad \forall m, n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado define, para a\neq0 em \mathbb{Z} e m\in\mathbb{N}, a potência de a por:
a^{0}=1,\quad a^{1}=a,\quad a^{m}=a\cdot a\cdots a\\ (\text{m vezes, se }m\ge2).
Queremos provar que
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} \quad\forall m,n\in\mathbb{N}.
O conteúdo é a propriedade de soma de expoentes em potências, e vamos usar indução em n, deixando m fixo.

Passo 2

Caso base n=0.
Pela definição, a^{0}=1. Logo, para qualquer m,
a^{m}\cdot a^{0} = a^{m}\cdot1 = a^{m} = a^{m+0}.
Portanto a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que, para algum n\ge0, já sabemos que
a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}.

Passo 4

Passo de indução.
Precisamos mostrar que a hipótese implica
a^{m}\cdot a^{n+1} = a^{m+(n+1)}.
Usando a definição de potência de expoente n+1 e associatividade do produto em \mathbb{Z}, temos
a^{m}\cdot a^{n+1} = a^{m}\cdot\bigl(a^{n}\cdot a\bigr) = \bigl(a^{m}\cdot a^{n}\bigr)\cdot a
pela associatividade. Pela hipótese de indução,
\bigl(a^{m}\cdot a^{n}\bigr)\cdot a = a^{m+n}\cdot a.
Novamente pela definição de potência, a^{m+n}\cdot a = a^{(m+n)+1}=a^{m+(n+1)}. Assim o passo de indução fecha.

Resposta

Como o caso base e o passo de indução foram verificados, por indução em n concluímos que
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}
para todos m,n\in\mathbb{N}.

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