Prove por indução que para todo n in N, 6 mid(n^3-n)

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que para todo ninN vale
6 mid l(n^3 - nr)
O conteúdo principal aqui é prova por indução combinada com noções de divisibilidade e de que o produto de dois inteiros consecutivos é sempre par.

Passo 2

Base da indução ( n=1). Calculemos
1^3 - 1 = 1 - 1 = 0
Como 0 = 6cdot 0, concluímos que 6mid(1^3-1). Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo – hipótese de indução. Suponha que, para algum kinN, já seja verdade que
6 mid l(k^3 - kr)
Isso significa que existe um inteiro m tal que
k^3 - k = 6,m

Passo 4

Passo indutivo – tese para k+1. Vamos mostrar que
6 mid l((k+1)^3 - (k+1)r)
Começamos expandindo:
(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k +1 - k - 1 = (k^3 - k) + 3,k(k+1)
Pela hipótese de indução, k^3 - k = 6m. Então
(k+1)^3 - (k+1) = 6m + 3,k(k+1) = 3l(2m + k(k+1)r)
Agora observamos que k e k+1 são consecutivos, de modo que um deles é par. Logo k(k+1) é par e existe linZ com
k(k+1) = 2,l
Substituindo,
2m + k(k+1) = 2m + 2l = 2,(m + l),
e então
(k+1)^3 - (k+1) = 3 cdot 2,(m+l) = 6,(m+l),
ou seja, 6midl((k+1)^3 - (k+1)r). Assim, a propriedade vale para k+1.

Passo 5

Conclusão da indução. Como a propriedade é verdadeira para n=1 e, sempre que vale para n=k implica que vale para n=k+1, segue pelo princípio da indução que
6 mid l(n^3 - nr) para todo ninN

Resposta

Por indução, mostramos que 6 divide n^3 - n para todo ninN.

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