Prove por indução que para todo
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que para todo
vale
O conteúdo principal aqui é prova por indução combinada com noções de divisibilidade e de que o produto de dois inteiros consecutivos é sempre par.
Passo 2
Base da indução (
). Calculemos
Como
, concluímos que
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo – hipótese de indução. Suponha que, para algum
, já seja verdade que
Isso significa que existe um inteiro
tal que
Passo 4
Passo indutivo – tese para
. Vamos mostrar que
Começamos expandindo:
Pela hipótese de indução,
. Então
Agora observamos que
e
são consecutivos, de modo que um deles é par. Logo
é par e existe
com
Substituindo,
e então
ou seja,
. Assim, a propriedade vale para
.
Passo 5
Conclusão da indução. Como a propriedade é verdadeira para
e, sempre que vale para
implica que vale para
, segue pelo princípio da indução que
Resposta
Por indução, mostramos que
divide
para todo
.