Seja r in R^+fixo. Mostre por indução matemática que (1+r)^n >= 1+n r, para todo n in N.

Passo 1

O enunciado fixa um real r>0 e pede para mostrar, por indução em ninN, que
(1+r)^n;>=;1+n,r
O conteúdo envolve o princípio da indução matemática e a propriedade de que, para r>0 e kinN, tem-se k,r^2>=0.

Passo 2

Base da indução ( n=1). Verificamos diretamente que
(1+r)^1=1+r=1+1cdot r,
logo a desigualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para um certo kinN valha
(1+r)^k;>=;1+k,r

Passo 4

Passo indutivo ( n=k+1). Usando a hipótese e multiplicando por 1+r>0, temos
(1+r)^k+1 = (1+r)^k,(1+r);>=;(1+k,r),(1+r)
Expandindo o produto,
(1+k,r)(1+r)=1 + r + k,r + k,r^2 =1 + (k+1),r + k,r^2
Como k,r^2>=0, conclui-se
(1+r)^k+1;>=;1+(k+1),r

Passo 5

Pela base e pelo passo indutivo, o princípio da indução garante que
(1+r)^n;>=;1+n,r
para todo ninN.

Resposta

A desigualdade (1+r)^n>=1+n,r vale para todo ninN e todo r>0.

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