Seja
fixo. Mostre por indução matemática que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado fixa um real
e pede para mostrar, por indução em
, que
O conteúdo envolve o princípio da indução matemática e a propriedade de que, para
e
, tem-se
.
Passo 2
Base da indução (
). Verificamos diretamente que
logo a desigualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para um certo
valha
Passo 4
Passo indutivo (
). Usando a hipótese e multiplicando por
, temos
Expandindo o produto,
Como
, conclui-se
Passo 5
Pela base e pelo passo indutivo, o princípio da indução garante que
para todo
.
Resposta
A desigualdade
vale para todo
e todo
.