Prove por indução, que para todo n in N, 1+12+12^2+12^3+cdots+12^n <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que a soma
Sn ;=; 1 + 12 + 12^2 + cdots + 12^n
é sempre menor ou igual a 2. Vamos usar o princípio da indução matemática, mas em vez de induzir diretamente na desigualdade vamos provar primeiro a fórmula fechada
Sn ;=; 2 ;-;12^n,
pois a partir dela a desigualdade Sn<=2 fica imediata.

Passo 2

Base da indução ( n=0). Quando n=0 temos
S0 ;=; 1
e
2 - 12^0 ;=; 2 - 1 ;=; 1
Logo S0 = 1 = 2 - 12^0, ou seja, a fórmula fechada vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum n>=0, valha
sumk=0^n 12^k ;=; 2 ;-;12^n

Passo 4

Passo indutivo ( nto n+1). Então
sumk=0^n+1 12^k = sumk=0^n 12^k ;+; 12^n+1 ;oversetHI=; l(2 - 12^nr) ;+;12^n+1 = 2 ;-;12^n ;+;12^n+1
Como
-12^n + 12^n+1 = -22^n+1 + 12^n+1 = -12^n+1,
segue
sumk=0^n+1 12^k = 2 ;-;12^,n+1,
ou seja, a fórmula também vale para n+1.

Passo 5

Conclusão. Pelo princípio da indução, para todo ninN vale
sumk=0^n 12^k =2 ;-;12^n
Como 12^n>0, obtemos
sumk=0^n 12^k =2 - 12^n <2,
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sumk=0^n 12^k <=2

Resposta

Para todo ninN vale
1 + 12 + 12^2 + cdots + 12^n ;<=;2

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