Prove por indução, que para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que a soma
é sempre menor ou igual a
. Vamos usar o princípio da indução matemática, mas em vez de induzir diretamente na desigualdade vamos provar primeiro a fórmula fechada
pois a partir dela a desigualdade
fica imediata.
Passo 2
Base da indução (
). Quando
temos
e
Logo
, ou seja, a fórmula fechada vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, valha
Passo 4
Passo indutivo (
). Então
Como
segue
ou seja, a fórmula também vale para
.
Passo 5
Conclusão. Pelo princípio da indução, para todo
vale
Como
, obtemos
logo
Resposta
Para todo
vale