1 Prove, por indução, que para todo número natural
:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
.
(h) Se
então
.
(i)
é divisível por 6 .
(j)
é divisível por 7 .
(k)
é divisível por 11 .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) Se
(i)
(j)
(k)
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado pede: provar por indução, para todo número natural
, as afirmações (a) a (k). Cada item é uma proposição que deve valer para todo
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) Se
então, para todo
,
(i)
(j)
(k)
Essas são as proposições que vou provar, uma por uma, usando indução matemática. Não resolvo nada aqui — só enumerei o que deve ser provado.
Passo 2
Rápida aula sobre o método de indução (pra gente trabalhar de forma bem segura):
- Para provar uma proposição
para todo por indução, faz-se: - Caso base: mostrar que
(ou , dependendo do problema) é verdadeira. - Passo indutivo: assumir a hipótese indutiva — que
é verdadeira para um fixo (isso é a hipótese de indução) — e então provar que também é verdadeira.
- Caso base: mostrar que
- Se esses dois itens são verificados, então
vale para todo .
Vou aplicar exatamente esse esquema em cada item. Quando for útil, explicarei leituras algébricas, decomposições (como frações parciais), ou como transformar a hipótese para obter.
Passo 3
Proposição:
Caso base
: a soma tem só o primeiro termo,
. Verificamos
Logo
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Queremos provar que
A soma do lado esquerdo é a soma assumida mais o próximo termo:
Portanto
. Concluímos por indução que a identidade vale para todo
.
Passo 5
Proposição:
Caso base
:
Logo
é verdadeira.
Passo 6
Hipótese: suponha que para algum
Queremos mostrar
Calculamos a soma até
usando a hipótese:
Colocando em fator comum
:
Agora fatoramos o polinômio quadrático:
Logo
que é exatamente a fórmula para
. Assim
e a identidade vale para todo
.
Passo 7
Proposição:
Caso base
:
Logo
é verdadeira.
Passo 8
Hipótese: suponha que para algum
Queremos provar que
Escrevemos a soma até
:
Pela hipótese isso é
Se chamarmos
, então queremos mostrar
Expandindo o lado direito:
Comparando, é suficiente provar que
ou seja
Dividindo por
(positivo),
Portanto precisamos que
Ou seja,
Isto é justamente a fórmula conhecida da soma dos
primeiros inteiros. Podemos provar essa fórmula por uma pequena indução auxiliar (ou lembrá-la com o argumento de pareamento). Faço-a em seguida para ficarmos completos.
Passo 9
Proposição auxiliar:
Caso base
:
, ok.
Hipótese:
. Então
que é a fórmula para
. Logo a fórmula vale por indução para todo
. (Também se pode usar o pareamento
.)
Passo 10
Agora que sabemos
, voltamos ao passo anterior: substituindo
obtemos
e então
o que fecha as contas necessárias. Portanto
e a indução se completa. Concluímos (c).
Passo 11
Proposição:
Caso base
:
Logo
é verdadeira.
Passo 12
Hipótese: suponha que para algum
Queremos mostrar que a soma até
satisfaz a fórmula com
:
Usamos que
. Então
Pela hipótese isso é
Colocando fator comum
:
que é a fórmula desejada para
. Assim a indução fecha.
Passo 13
Proposição:
Caso base
:
Logo
é verdadeira.
Passo 14
Hipótese: suponha que
Queremos mostrar
Observação útil: a fração pode ser decomposta em frações simples:
Então
Usando a hipótese:
Colocando denominador comum
:
Portanto a soma até
é
e a indução se completa.
Passo 15
Proposição:
Caso base
:
Logo
verdadeira.
Passo 16
Hipótese: suponha que
para algum
. Queremos provar
Temos
pela hipótese. Então é suficiente mostrar que
Reescrevendo o lado direito:
Mais direto: fatorando
. Assim queremos ver
Dividindo por
,
que é verdade. Logo
, e o passo indutivo está provado. Assim a desigualdade vale para todo
.
Passo 17
Proposição:
Caso base
:
, ok.
Passo 18
É prático mostrar, por indução, a fórmula exata
Caso base
:
, ok.
Hipótese: suponha
. Então
Portanto a fórmula vale para todo
. Como
para todo
, segue a desigualdade pedida:
Passo 19
Proposição (Bernoulli fraco): se
então
para todo
.
Caso base
:
é igualdade, ok.
Passo 20
Hipótese: suponha
para algum
, com a condição
. Multiplicando ambos os lados por
(assim a direção da desigualdade se preserva),
Calculamos o produto no lado direito:
Como
para todo
e todo
, obtemos
Compondo as desigualdades,
Isso completa o passo indutivo. Portanto a desigualdade vale para todo
.
Passo 21
Proposição:
é divisível por
.
Caso base
:
que é divisível por
. OK.
Passo 22
Hipótese: suponha
é múltiplo de
para algum
. Precisamos mostrar que
também é múltiplo de
.
Considere a diferença entre os dois termos consecutivos:
Note que entre
e
um deles é par, logo
é múltiplo de
. Portanto
é múltiplo de
. Assim a diferença entre
e
é múltiplo de
. Como por hipótese
é múltiplo de
, segue que
também é múltiplo de
. Concluímos por indução.
(Observação alternativa: fatoração
e argumento dos três consecutivos mostra diretamente divisibilidade por
e por
.)
Passo 23
Proposição:
é divisível por
.
Caso base
:
que é divisível por
. OK.
Passo 24
Hipótese: suponha
é múltiplo de
para algum
. Queremos provar a mesma propriedade para
, isto é que
é múltiplo de
.
Reescrevemos:
Observação útil:
. Então
Portanto
Pela hipótese indutiva
é múltiplo de
, então
também é múltiplo de
. Além disso
é múltiplo de
. Soma de múltiplos de
é múltiplo de
. Assim o termo para
é múltiplo de
. Indução completa.
Passo 25
Proposição:
é divisível por
.
Caso base
:
e
é múltiplo de
. OK.
Passo 26
Hipótese: seja
. Suponha
é múltiplo de
. Queremos mostrar
também é múltiplo de
.
Calculamos
:
Escrevendo em termos de
, notamos
Assim
Pela hipótese
é múltiplo de
, e
é obviamente múltiplo de
. Soma de múltiplos de
é múltiplo de
. Logo
é múltiplo de
. Indução concluída.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) Se então
(i) é divisível por
.
(j) é divisível por
.
(k) é divisível por
.
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h) Se
(i)
(j)
(k)