Sejam
e
. Exiba, se possível:
não injetora.
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
e pede para exibir, se possível, uma função
que seja não injetora (ou seja, que não seja injectiva).
Informações relevantes: o domínio tem elementos (
) e o contradomínio tem
elementos (
). A tarefa é apenas apresentar um exemplo concreto de
que não seja injetora.
Informações relevantes: o domínio tem
Passo 2
O que significa “não injetora”? Vou lembrar a definição de forma clara e útil para a prova.
Definição formal de injetividade: uma função
é injetora se, para quaisquer
,
Em palavras: valores iguais na imagem só ocorrem quando os argumentos são iguais.
Definição de não injetora:
não é injetora se existe pelo menos um par
com
e
Em palavras: basta encontrar duas entradas diferentes que têm a mesma imagem. Isso quebra a injetividade.
Passo 3
Estratégia simples para construir um
não injetora: escolher dois elementos distintos de
e mandar ambos para o mesmo elemento de
; o terceiro elemento de
pode ir para qualquer elemento (mesmo esse ou outro).
Vou escolher um exemplo muito direto e fácil de checar:
onde notei que
(peguei esses elementos do conjunto
).
Passo 4
Escrever
como conjunto de pares ordenados ajuda a ficar claro que é uma função:
Verificação rápida: cada elemento de
aparece exatamente uma vez na primeira coordenada dos pares, então é uma correspondência bem definida de
em
. As imagens
e
pertencem a
, logo
está bem definida.
Passo 5
Mostrar que
não é injetora: tome
e
. Temos
(pois
), mas
Como existem
com
, a função
falha na condição de injetividade. Portanto
é não injetora.
Passo 6
Observação e encorajamento: existem muitos outros exemplos válidos (por exemplo, mandar todos os três elementos de
para o mesmo elemento de
, ou mandar
, etc.). O essencial para a prova é saber que basta dar qualquer função em que duas entradas distintas tenham a mesma imagem.