Sejam A=\{a, b, c\} e B=\{x, y, z, w\}. Exiba, se possível:
f: A \rightarrow B não injetora.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{a,b,c\},\qquad B=\{x,y,z,w\},
e pede para exibir, se possível, uma função f:A\to B que seja não injetora (ou seja, que não seja injectiva).
Informações relevantes: o domínio tem 3 elementos ( a,b,c) e o contradomínio tem 4 elementos ( x,y,z,w). A tarefa é apenas apresentar um exemplo concreto de f que não seja injetora.

Passo 2

O que significa “não injetora”? Vou lembrar a definição de forma clara e útil para a prova.
Definição formal de injetividade: uma função f é injetora se, para quaisquer u,v\in A,
f(u)=f(v)\quad\Rightarrow\quad u=v.
Em palavras: valores iguais na imagem só ocorrem quando os argumentos são iguais.
Definição de não injetora: f não é injetora se existe pelo menos um par u,v\in A com u\neq v e
f(u)=f(v).
Em palavras: basta encontrar duas entradas diferentes que têm a mesma imagem. Isso quebra a injetividade.

Passo 3

Estratégia simples para construir um f não injetora: escolher dois elementos distintos de A e mandar ambos para o mesmo elemento de B; o terceiro elemento de A pode ir para qualquer elemento (mesmo esse ou outro).
Vou escolher um exemplo muito direto e fácil de checar:
f(a)=x,\qquad f(b)=x,\qquad f\text{(c)}=y,
onde notei que x,y\in B (peguei esses elementos do conjunto B).

Passo 4

Escrever f como conjunto de pares ordenados ajuda a ficar claro que é uma função:
f=\{(a,x),(b,x),(c,y)\}.
Verificação rápida: cada elemento de A aparece exatamente uma vez na primeira coordenada dos pares, então é uma correspondência bem definida de A em B. As imagens x e y pertencem a B, logo f:A\to B está bem definida.

Passo 5

Mostrar que f não é injetora: tome u=a e v=b. Temos u\neq v (pois a\neq b), mas
f(a)=x=f(b).
Como existem u\neq v com f(u)=f(v), a função f falha na condição de injetividade. Portanto f é não injetora.

Passo 6

Observação e encorajamento: existem muitos outros exemplos válidos (por exemplo, mandar todos os três elementos de A para o mesmo elemento de B, ou mandar a\mapsto y,\\ b\mapsto y,\\ c\mapsto z, etc.). O essencial para a prova é saber que basta dar qualquer função em que duas entradas distintas tenham a mesma imagem.

Resposta

f(a)=x,\\ f(b)=x,\\ f\text{(c)}=y

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