Suponha que a fabricação de um produto requer x horas por máquina e y horas por pessoa e o custo de produção seja dado por f(x, y)=2 x^{3}-6 x y+y^{2}+500. Determine o número de máquinas-hora e pessoas-hora necessárias que o custo seja mínimo.
a. 10 máquinas-hora e 9 pessoas-hora
b. 3 máquinas-hora e 6 pessoas-hora
c. 3 máquinas-hora e 9 pessoas-hora
d. 2 máquinas-hora e 10 pessoas-hora
e. 9 máquinas-hora e 3 pessoas-hora
Passo 1
O enunciado pede para minimizar a função de custo f(x,y)=2x^3-6xy+y^2+500 em relação a x (horas-máquina) e y (horas-pessoa). Para isso, vamos usar cálculo multivariável encontrando pontos críticos com \nabla f=0 e, em seguida, verificar a natureza desses pontos pelo Hessiano.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x^2-6y,
\frac{\partial f}{\partial y}=-6x+2y.
Passo 3
Igualamos as derivadas parciais a zero para achar os pontos críticos:
6x^2-6y=0\quad\Rightarrow\quad y=x^2,
-6x+2y=0\quad\Rightarrow\quad y=3x.
Combinando x^2=3x obtém-se x(x-3)=0, logo x=0 ou x=3. Se x=0 segue y=0; se x=3 segue y=9.
Passo 4
Para verificar qual ponto é mínimo, usamos o Hessiano
Em (0,0) seu determinante é 0\cdot2-(-6)^2=-36<0, indicando ponto de sela. Em (3,9) temos \det H=12\cdot3\cdot2-(-6)^2=72-36=36>0 e f_{xx}=12\cdot3>0, caracterizando mínimo local.