Nos items a seguir, esboce o sólido limitado pelos gráficos das expressões dadas e use uma integral tripla para obter seu volume.
Passo 1
Estamos lidando com o sólido limitado pelas superfícies
(paraboloide) e
(plano). Para achar o volume, usamos integral tripla e, na prática, reduzimos a conta a uma integral dupla na projeção do sólido sobre o plano
.
Passo 2
Determinar a região de projeção D no plano
. Na interseção das superfícies, substituímos
em
e obtemos a curva
Reconhecemos que isso é um círculo de centro
Passo 3
Escrever o volume como integral dupla sobre D usando a diferença entre a superfície superior
e a inferior
:
Passo 4
Para simplificar a região D e o integrando, fazemos a mudança
de modo que
e
. Substituindo, o integrando fica
e D se torna o disco
Passo 5
Em coordenadas polares
no plano
, temos
e:
Calculando a integral interna e multiplicando por