Nos items a seguir, esboce o sólido limitado pelos gráficos das expressões dadas e use uma integral tripla para obter seu volume.
z=x^2+y^2 ; y+z=2

Passo 1

Estamos lidando com o sólido limitado pelas superfícies z=x^2+y^2 (paraboloide) e y+z=2 (plano). Para achar o volume, usamos integral tripla e, na prática, reduzimos a conta a uma integral dupla na projeção do sólido sobre o plano xy.

Passo 2

Determinar a região de projeção D no plano xy. Na interseção das superfícies, substituímos z=x^2+y^2 em y+z=2 e obtemos a curva
x^2+y^2+y-2=0
Reconhecemos que isso é um círculo de centro (0,-1/2) e raio 3/2. Logo, D é o interior desse círculo.

Passo 3

Escrever o volume como integral dupla sobre D usando a diferença entre a superfície superior ztopo=2-y e a inferior zbase=x^2+y^2:
V=integral duplaDl[(2-y)-(x^2+y^2)r],dA

Passo 4

Para simplificar a região D e o integrando, fazemos a mudança v=y+1/2 de modo que x^2+y^2 = x^2+(v-1/2)^2 = rho^2 - v + 1/4 e 2-y = 5/2 - v. Substituindo, o integrando fica
5/2 - v - (rho^2 - v + 1/4) = 9/4 - rho^2
e D se torna o disco (x,v):x^2+v^2<=(3/2)^2.

Passo 5

Em coordenadas polares (rho,phi) no plano (x,v), temos dA=rho,drho,dphi e:
V=integral0^2piintegral0^3/2(9/4-rho^2),rho,drho,dphi
Calculando a integral interna e multiplicando por 2pi, obtemos
V=81pi/32

Resposta

81pi/32

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