Prove que a integral converge para o valor indicado.
Passo 1
Queremos mostrar que a integral imprópria
converge e que seu valor é
. O conteúdo envolve testes de convergência para integrais impróprias e o uso de substituição apropriada.
Passo 2
Primeiro, verificamos a convergência em cada extremidade do intervalo. Quando
, temos
, e sabe-se que
converge. Quando
, note que
<
para
grande, e
também converge pelo teste da comparação (pois
dá
).
Passo 3
Aplicamos a substituição
. Então
,
e
. A integral vira
Passo 4
Separamos em duas integrais:
Passo 5
Sabemos que
. Para
, usamos o truque da substituição
, que mostra
logo
Passo 6
Portanto,