Prove que a integral converge para o valor indicado.
integral0^infty ln xx^2+e^2 d x=pi2 e

Passo 1

Queremos mostrar que a integral imprópria integral0^inftyln xx^2+e^2,dx converge e que seu valor é pi/(2e). O conteúdo envolve testes de convergência para integrais impróprias e o uso de substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro, verificamos a convergência em cada extremidade do intervalo. Quando xto0^+, temos ln xx^2+e^2simln xe^2, e sabe-se que integral0^1ln x,dx converge. Quando xtoinfty, note que ln xx^2+e^2< ln xx^2 para x grande, e integral1^inftyln xx^2,dx também converge pelo teste da comparação (pois ln x/x^2=O(x^-3/2) p>1).

Passo 3

Aplicamos a substituição x=e,t. Então dx=e,dt, ln x=1+ln t e x^2+e^2=e^2(t^2+1). A integral vira

Passo 4

Separamos em duas integrais:
I1=integral0^inftydtt^2+1, I2=integral0^inftyln tt^2+1,dt

Passo 5

Sabemos que I1=l[arctan tr]0^infty=pi/2. Para I2, usamos o truque da substituição t=1/u, que mostra
I2=integralinfty^0ln(1/u)1+1/u^2,l(-u^-2dur)=integral0^infty-ln uu^2+1,du=-I2,
logo I2=0.

Passo 6

Portanto,
integral0^inftyln xx^2+e^2,dx=1el(I1+I2r)=1ecdotpi2=pi2e

Resposta

pi2e

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