Escreva uma expansão em séries de Maclaurin para as funções
e
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever as séries de Maclaurin (expansão em torno de 0) para as funções sen(x), cos(x), e^x e 1/(1–x). Vamos usar o conceito de série de Maclaurin e as derivadas das funções em x=0 para montar cada expansão.
Passo 2
A série de Maclaurin para uma função f é dada por
ou seja, precisamos calcular as derivadas sucessivas em x=0 e identificar o padrão.
Passo 3
Para sen(x) e cos(x) usamos as derivadas periódicas e o fato de que só termos ímpares aparecem em sen(x) e pares em cos(x). Calculando f^{(n)}(0) e agrupando por n, obtemos:
Passo 4
Para e^x, todas as derivadas são iguais a e^x e, em x=0, valem 1. Logo:
Passo 5
Para 1/(1–x), reconhecemos a série geométrica de razão x, válida para |x|<1. Isso dá:
Resposta
As séries de Maclaurin são: