Escreva uma expansão em séries de Maclaurin para as funções sen(x), cos (x), e^x e 1 /(1-x).

Passo 1

O enunciado pede para escrever as séries de Maclaurin (expansão em torno de 0) para as funções sen(x), cos(x), e^x e 1/(1–x). Vamos usar o conceito de série de Maclaurin e as derivadas das funções em x=0 para montar cada expansão.

Passo 2

A série de Maclaurin para uma função f é dada por
f(x)= sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n
ou seja, precisamos calcular as derivadas sucessivas em x=0 e identificar o padrão.

Passo 3

Para sen(x) e cos(x) usamos as derivadas periódicas e o fato de que só termos ímpares aparecem em sen(x) e pares em cos(x). Calculando f^{(n)}(0) e agrupando por n, obtemos:
sin(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!,
cos(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!

Passo 4

Para e^x, todas as derivadas são iguais a e^x e, em x=0, valem 1. Logo:
e^x=sumn=0^inftyx^nn!

Passo 5

Para 1/(1–x), reconhecemos a série geométrica de razão x, válida para |x|<1. Isso dá:
11-x=sumn=0^inftyx^n, |x|<1

Resposta

As séries de Maclaurin são:
sin(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!
cos(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!
e^x=sumn=0^inftyx^nn!
11-x=sumn=0^inftyx^n, |x|<1

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