Use a Transformada de Laplace para obter resolver cada um dos problemas a valores iniciais,

Passo 1

O problema pede a solução da EDO de segunda ordem y'' - 4y' + 4y = 0 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1 usando a Transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades de transformada de derivadas e a tabela de transformadas inversas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados de y'' - 4y' + 4y = 0, obtendo:
Ly'' - 4Ly' + 4Ly = 0

Passo 3

Usando Ly = Y(s), Ly' = sY(s) - y(0) e Ly'' = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0), e substituindo y(0)=1, y'(0)=1, temos:
(s^2Y(s) - s - 1) - 4(sY(s) - 1) + 4Y(s) = 0

Passo 4

Simplificando a expressão algébrica:
(s^2 - 4s + 4)Y(s) + (-s + 3) = 0 Longrightarrow (s-2)^2 Y(s) = s - 3 Longrightarrow Y(s) = s-3(s-2)^2

Passo 5

Decompomos Y(s) separando s-3 = (s-2) - 1, logo:
Y(s) = s-2(s-2)^2 - 1(s-2)^2 = 1s-2 - 1(s-2)^2

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa usando L^-11/(s-2) = e^2t e L^-11/(s-2)^2 = t e^2t, obtendo:
y(t) = e^2t - t e^2t = (1 - t),e^2t

Resposta

y(t) = (1 - t)e^2t

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