Prove.
integral cos ^3 x d x=13(2+cos ^2 x) sin x+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralcos^3x,dx. Isso faz parte de integrais de funções trigonométricas, e vamos precisar usar a identidade pitagórica cos^2x=1-sin^2x e a técnica de substituição.

Passo 2

Reescrevemos cos^3x usando cos^2x=1-sin^2x. Assim obtenho
cos^3x=cos xcdotcos^2x=cos x,(1-sin^2x)

Passo 3

Agora faço a substituição u=sin x, o que implica du=cos x,dx. A integral vira
integralcos x,(1-sin^2x),dx=integral(1-u^2),du

Passo 4

Integro termo a termo:
integral(1-u^2),du=integral1,du-integral u^2,du=u-u^33+C

Passo 5

Volto à variável original x substituindo u=sin x:
sin x-sin^3x3+C

Passo 6

Para chegar à forma pedida, fatoro 13:
sin x-sin^3x3=3sin x-sin^3x3=sin x,(3-sin^2x)3
Como 3-sin^2x=2+(1-sin^2x)=2+cos^2x, concluímos

Passo 7

integralcos^3x,dx=13(2+cos^2x),sin x+C

Resposta

13(2+cos^2x),sin x+C

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