Calcule as integrais abaixo.
integral-1^0 integral0^1(x+y)^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integralx=-1^0integraly=0^1(x+y)^2,dy,dx. O conteúdo é integração iterada (Teorema de Fubini) e vamos usar técnicas básicas de antiderivada e substituição simples para resolver.

Passo 2

Aplicamos primeiro a integral interna em y. Para cada x fixo, faça u=x+y, du=dy. Assim temos:
integral0^1(x+y)^2,dy=integralu=x^x+1u^2,du=[u^33]u=x^u=x+1=(x+1)^3-x^33

Passo 3

Agora integramos o resultado em x, incluindo o fator 1/3:
integral-1^0(x+1)^3-x^33,dx=13gl(integral-1^0(x+1)^3,dx-integral-1^0x^3,dxgr)
Calcule as antiderivadas:
integral(x+1)^3,dx=(x+1)^44, integral x^3,dx=x^44

Passo 4

Avaliando de -1 a 0:
l[tfrac(x+1)^44-tfracx^44r]-1^0=l(tfrac14-0r)-l(0-tfrac14r)=tfrac12
Multiplicando pelo 1/3 tfrac13cdottfrac12=tfrac16.

Passo 5

Pronto! Obtivemos o valor da integral dupla.

Resposta

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