Derive e simplifique.
g(t)=t^2raiz[3]t^3+1

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função g(t)=t^2raiz[3]t^3+1. O conteúdo aqui envolve regra do produto e regra da cadeia para potências. Vamos precisar reescrever a raiz como potência, aplicar as regras de derivação e depois simplificar o resultado.

Passo 2

Primeiro, converto a função para um produto de potências. Note que raiz[3]t^3+1=(t^3+1)^1/3, então
g(t)=t^2,(t^3+1)^-1/3

Passo 3

Agora aplico a regra do produto: se g(t)=u(t),v(t), então g'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t). Aqui u(t)=t^2 e v(t)=(t^3+1)^-1/3.
Derivo cada parte:
  • u'(t)=2t.
  • Para v(t)=(t^3+1)^-1/3, uso regra da cadeia:
v'(t)=-tfrac13(t^3+1)^-4/3cdotddt(t^3+1)=-tfrac13(t^3+1)^-4/3cdot3t^2=-t^2,(t^3+1)^-4/3

Passo 4

Substituindo em g'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t) temos:
g'(t)=2t,(t^3+1)^-1/3+t^2l[-t^2,(t^3+1)^-4/3r]

Passo 5

Tiro o sinal e reorganizo:
g'(t)=2t,(t^3+1)^-1/3-t^4,(t^3+1)^-4/3

Passo 6

Para simplificar, coloco o denominador comum (t^3+1)^4/3. Observando que (t^3+1)^-1/3=(t^3+1)^3/3-4/3=(t^3+1)^1-4/3=(t^3+1)^-1/3, mas mais fácil é multiplicar e dividir por (t^3+1)^4/3:
g'(t)=2t,(t^3+1)(t^3+1)^4/3-t^4(t^3+1)^4/3=2t(t^3+1)-t^4(t^3+1)^4/3

Passo 7

Faço a subtração no numerador: 2t(t^3+1)=2t^4+2t, então
g'(t)=2t^4+2t-t^4(t^3+1)^4/3=t^4+2t(t^3+1)^4/3

Passo 8

Por fim, fatoro t no numerador:
g'(t)=t(t^3+2)(t^3+1)^4/3

Resposta

g'(t)=dfract,(t^3+2)(t^3+1)^4/3

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