(star) Prove que se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) >= g(x) para todo x em [a, b], então integrala^b f >= integrala^b g.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são integráveis em [a,b] e que
f(x)>= g(x)para todo xin[a,b]
Queremos mostrar que
integrala^bf(x),dx >= integrala^bg(x),dx
O conteúdo principal é usar as somas inferiores (Darboux) e a definição de integrabilidade como igualdade entre integral inferior e superior.

Passo 2

Para qualquer partição P=a=x0<x1<cdots<xn=b, seja em cada subintervalo [xi-1,xi]
mi(f)=inff(x)mid xin[xi-1,xi], mi(g)=infg(x)mid xin[xi-1,xi]
Como f(x)>= g(x) em todo [a,b], segue que em cada subintervalo
mi(f)>= mi(g)

Passo 3

A soma inferior de f relativa a P é
L(f,P)=sumi=1^nmi(f),(xi - xi-1),
e de g é
L(g,P)=sumi=1^nmi(g),(xi - xi-1)
Da desigualdade mi(f)>= mi(g) obtemos
L(f,P);=;sumi=1^nmi(f),(xi - xi-1) ;>=; sumi=1^nmi(g),(xi - xi-1) ;=;L(g,P)

Passo 4

Pela definição de integral de Riemann/Darboux, como f e g são integráveis, temos
integrala^bf(x),dx =supPL(f,P), integrala^bg(x),dx =supPL(g,P)
Como para todo P vale L(f,P)>= L(g,P), tirando supremo em ambos os lados segue
supPL(f,P)>= supPL(g,P),
ou seja
integrala^bf(x),dx >= integrala^bg(x),dx

Resposta

integrala^bf(x),dx >= integrala^bg(x),dx

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