Prove que se
e
são integráveis em
e
para todo
em
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são integráveis em
e que
Queremos mostrar que
O conteúdo principal é usar as somas inferiores (Darboux) e a definição de integrabilidade como igualdade entre integral inferior e superior.
Passo 2
Para qualquer partição
, seja em cada subintervalo
Como
em todo
, segue que em cada subintervalo
Passo 3
A soma inferior de
relativa a
é
e de
é
Da desigualdade
obtemos
Passo 4
Pela definição de integral de Riemann/Darboux, como
e
são integráveis, temos
Como para todo
vale
, tirando supremo em ambos os lados segue
ou seja