(A interpretação geométrica torna esta propriedade mais plausível).
Sugesão: Qualquer partição de dá origem a uma partição de e conversamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de Riemann é invariante por translação, isto é, para toda função integrável em e todo vale
O conteúdo usado será a definição de soma de Riemann e o fato de que, se é uma partição de , então é partição de e os supremos e ínfimos de em cada subintervalo coincidem com os de nos subintervalos deslocados.
Passo 2
Seja uma partição de com . Definimos a partição correspondente em por
Se f é integrável em [a,b], então integrala^bf = integrala^bf. Pelos resultados acima, isso implica também integrala+c^b+cg = integrala+c^b+cg,
ou seja, g(x)=f(x-c) é integrável em [a+c,b+c] e