( star ) Prove que
integrala^b f(x) d x=integrala+c^b+c f(x-c) d x
(A interpretação geométrica torna esta propriedade mais plausível).
Sugesão: Qualquer partição P=t0, cdots, tn de [a, b] dá origem a uma partição P^primet0+c, cdots, tn+c de [a+c, b+c] e conversamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de Riemann é invariante por translação, isto é, para toda função f integrável em [a,b] e todo cinR vale
integrala^bf(x),dx ;=;integrala+c^b+cf(x - c),dx
O conteúdo usado será a definição de soma de Riemann e o fato de que, se P=t0,dots,tn é uma partição de [a,b], então P'=t0+c,dots,tn+c é partição de [a+c,b+c] e os supremos e ínfimos de f em cada subintervalo coincidem com os de f(cdot-c) nos subintervalos deslocados.

Passo 2

Seja P=t0,dots,tn uma partição de [a,b] com a=t0<t1<cdots<tn=b. Definimos a partição correspondente em [a+c,b+c] por
P'=t0+c,;t1+c,;dots,;tn+c
Em cada subintervalo [ti-1,ti] de P consideramos
Mi = supxin[ti-1,,ti]f(x), mi = infxin[ti-1,,ti]f(x)
Em [ti-1+c,;ti+c] para a função g(x)=f(x-c) temos
M'i = supxin[ti-1+c,,ti+c]g(x) = supuin[ti-1,,ti]f(u) = Mi,
m'i = infxin[ti-1+c,,ti+c]g(x) = infuin[ti-1,,ti]f(u) = mi

Passo 3

As somas superiores de f em P e de g em P' são
U(f,P) = sumi=1^n Mi,(ti - ti-1), U(g,P') = sumi=1^n M'i,l((ti+c)-(ti-1+c)r) = sumi=1^n Mi,(ti - ti-1)
Logo
U(f,P) = U(g,P')
Analogamente, para as somas inferiores
L(f,P) = sumi=1^n mi,(ti - ti-1), L(g,P') = sumi=1^n m'i,(ti - ti-1) = L(f,P)

Passo 4

Pela definição de integral de Riemann,
integrala^bf = infP U(f,P), integrala^bf = supP L(f,P),
e
integrala+c^b+cg = infP' U(g,P'), integrala+c^b+cg = supP' L(g,P')
Como para cada P P' com U(f,P)=U(g,P') e L(f,P)=L(g,P'), segue
integrala^bf = integrala+c^b+cg, integrala^bf = integrala+c^b+cg

Passo 5

Se f é integrável em [a,b], então integrala^bf = integrala^bf. Pelos resultados acima, isso implica também
integrala+c^b+cg = integrala+c^b+cg,
ou seja, g(x)=f(x-c) é integrável em [a+c,b+c] e
integrala^bf(x),dx = integrala+c^b+cg(x),dx = integrala+c^b+cf(x-c),dx

Resposta

boxedintegrala^bf(x),dx = integrala+c^b+cf(x - c),dx

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