Prove que se a é um inteiro ímpar, então a^2 equiv 1(bmod 8).

Passo 1

O problema pede para mostrar que, sempre que a é um inteiro ímpar, seu quadrado satisfaz
a^2equiv 1pmod8
O conteúdo envolvido é aritmética modular e a representação de um inteiro ímpar na forma a=2k+1.

Passo 2

Como a é ímpar, existe um inteiro k tal que
a = 2k + 1
Elevando ao quadrado, temos
a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4,k(k+1) + 1

Passo 3

Note que k e k+1 são dois inteiros consecutivos, de modo que um deles é par. Logo o produto k(k+1) é par e pode ser escrito como
k(k+1) = 2m
para algum inteiro m.

Passo 4

Substituindo na expressão de a^2, obtemos
a^2 = 4l(2mr) + 1 = 8m + 1
Isso mostra que a^2-1 = 8m, ou seja, a^2-1 é múltiplo de 8. Em linguagem de congruências:
a^2equiv 1pmod8

Resposta

a^2equiv 1pmod8 para todo inteiro ímpar a.

Exercícios relacionados