Prove que se
é um inteiro ímpar, então
.
Passo 1
O problema pede para mostrar que, sempre que
é um inteiro ímpar, seu quadrado satisfaz
O conteúdo envolvido é aritmética modular e a representação de um inteiro ímpar na forma
.
Passo 2
Como
é ímpar, existe um inteiro
tal que
Elevando ao quadrado, temos
Passo 3
Note que
e
são dois inteiros consecutivos, de modo que um deles é par. Logo o produto
é par e pode ser escrito como
para algum inteiro
.
Passo 4
Substituindo na expressão de
, obtemos
Isso mostra que
, ou seja,
é múltiplo de 8. Em linguagem de congruências: