Determinar o número de soluções de cada uma das seguintes congruências lineares:
3 x equiv 6(bmod 15);

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções da congruência linear
3x equiv 6 pmod15
O conteúdo necessário é o critério de existência e o número de soluções de uma congruência axequiv bpmod m: existe solução se, e somente se, gcd(a,m) divide b, e nesse caso há exatamente gcd(a,m) soluções incongruentes módulo m.

Passo 2

Calcular o divisor comum máximo entre o coeficiente de x e o módulo:
d = gcd(3,15)
Pelo algoritmo de Euclides, gcd(3,15)=3.

Passo 3

Verificar a condição de existência de solução:
como d=3 e 3 divide 6, a congruência tem solução, e o teorema garante exatamente d=3 soluções incongruentes módulo 15.

Passo 4

Opcionalmente, determinar as soluções para confirmar a quantidade: dividindo toda a congruência por d=3 obtemos
33x equiv 63 pmodtfrac153 Longrightarrow x equiv 2 pmod5
Logo
x = 2 + 5k, k=0,1,2
produz as três soluções incongruentes módulo 15: xequiv2,7,12pmod15.

Resposta

A congruência 3xequiv6pmod15 tem exatamente 3 soluções.

Exercícios relacionados