Encontre os pontos da reta r:(x, y, z)=(1,0,2)+t(2,-1,1) que estão a uma distância \sqrt{ } 6 do ponto A=(3, -1,3).

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:\,(x,y,z) = (1,0,2) + t\,(2,-1,1)
e o ponto A=(3,-1,3). Queremos achar os pontos em r cuja distância a A é \sqrt{6}. Para isso, vamos parametrizar um ponto genérico em r, usar a fórmula da distância no espaço e resolver a equação resultante para t.

Passo 2

Um ponto genérico em r é
P(t) = (1+2t,\;0 - t,\;2 + t).

Passo 3

A distância ao quadrado entre P(t) e A é
d^2 = (1+2t - 3)^2 + (-t + 1)^2 + (2+t - 3)^2
e queremos d^2 = (\sqrt{6})^2 = 6.

Passo 4

Calculando cada diferença:
1+2t-3 = 2t-2,\quad -t+1 = 1-t,\quad 2+t-3 = t-1,
então
(2t-2)^2 + (1-t)^2 + (t-1)^2 = 6.
Expandindo e somando, obtemos
6\,(t-1)^2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad (t-1)^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad t = 1 \pm 1 \;\Rightarrow\; t = 0 \text{ ou } t = 2.

Passo 5

Substituindo em P(t):
  • Para t=0: P(0) = (1,0,2).
  • Para t=2: P(2) = (1+4,\,-2,\;2+2) = (5,-2,4).

Resposta

Os pontos são (1,0,2) e (5,-2,4).

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