Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de R^2 e R^3. Verifique quais deles são subespaços vetoriais destes espaços relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
S=(x, y, z) in R^3 ; z=x-y

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid z = x - y
e pede para verificar se S é subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos checar:
  1. Se o vetor nulo pertence a S.
  2. Se S é fechado sob adição.
  3. Se S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor nulo 0=(0,0,0) está em S.
No nulo, z=0 e x-y=0-0=0. Logo,
0 = 0 - 0,
portanto 0in S.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição.
Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em S. Então
z1 = x1 - y1 e z2 = x2 - y2
Considere u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2). Temos
z1+z2 = (x1 - y1) + (x2 - y2) = (x1 + x2) - (y1 + y2),
logo u+v satisfaz a mesma relação e pertence a S.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja u=(x,y,z)in S com z = x - y e seja lambdainR. Então
lambdau = (lambda x,;lambda y,;lambda z)
Como z = x - y, segue
lambda z = lambda(x - y) = (lambda x) - (lambda y),
portanto lambdau também satisfaz a relação e pertence a S.

Resposta

S é subespaço vetorial de R^3.

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