Prove que se
e
são comutativas, então vale a igualdade
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se duas matrizes
e
comutam (ou seja,
) e têm dimensões compatíveis de modo que todos os produtos abaixo façam sentido, então vale
O conteúdo que vamos usar é a distributividade da multiplicação de matrizes sobre a soma e a propriedade de que
.
Passo 2
Começamos aplicando a distributividade pelo lado esquerdo:
Passo 3
Agora distribuímos cada um dos dois termos:
Logo,
Passo 4
Repare que
e
. Além disso, pela hipótese de comutatividade temos
. Portanto os termos
e
se anulam:
Isso deixa
Resposta
Como queríamos, ficou provado que
sempre que
.