Prove que se A=\left(a_{i j}\right)_{n \times m} e B=\left(b_{j k}\right)_{m \times p} são comutativas, então vale a igualdade
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se duas matrizes A e B comutam (ou seja, AB=BA) e têm dimensões compatíveis de modo que todos os produtos abaixo façam sentido, então vale
(A+B)(A-B)=A^2 - B^2.
O conteúdo que vamos usar é a distributividade da multiplicação de matrizes sobre a soma e a propriedade de que AB=BA.

Passo 2

Começamos aplicando a distributividade pelo lado esquerdo:
(A+B)(A-B) = A\,(A-B) \;+\; B\,(A-B).

Passo 3

Agora distribuímos cada um dos dois termos:
A\,(A-B)=AA - AB, \qquad B\,(A-B)=BA - BB.
Logo,
(A+B)(A-B) = AA - AB + BA - BB.

Passo 4

Repare que AA=A^2 e BB=B^2. Além disso, pela hipótese de comutatividade temos AB=BA. Portanto os termos -AB e +BA se anulam:
-AB + BA = 0.
Isso deixa
(A+B)(A-B) = A^2 - B^2.

Resposta

Como queríamos, ficou provado que
(A+B)(A-B)=A^2 - B^2
sempre que AB=BA.

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