Prove as seguintes afirmações:
(k A) \cdot B=k(A \cdot B)=A \cdot(k B), para toda matriz A=\left(a_{i j}\right)_{n \times m} e B=\left(b_{j k}\right)_{m \times p}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um escalar k e matrizes A=(a_{ij})_{n\times m} e B=(b_{jk})_{m\times p}, vale
(kA)\cdot B \;=\; k\,(A\cdot B)\;=\;A\cdot (kB).
Vamos usar a definição de produto de matrizes: para quaisquer matrizes compatíveis, o elemento (i,k) de A\cdot B é
(A\cdot B)_{ik} \;=\;\sum_{j=1}^{m} a_{ij}\,b_{jk}.

Passo 2

Calculemos o elemento (i,k) de (kA)\cdot B:
\bigl((kA)\cdot B\bigr)_{ik} =\sum_{j=1}^{m} (k\,a_{ij})\,b_{jk} =k\sum_{j=1}^{m}a_{ij}\,b_{jk} =k\,(A\cdot B)_{ik}.
Como essa relação vale para todo par (i,k), concluímos
(kA)\cdot B = k\,(A\cdot B).

Passo 3

Agora calculemos o elemento (i,k) de A\cdot(kB):
\bigl(A\cdot(kB)\bigr)_{ik} =\sum_{j=1}^{m} a_{ij}\,(k\,b_{jk}) =k\sum_{j=1}^{m}a_{ij}\,b_{jk} =k\,(A\cdot B)_{ik}.
Logo,
A\cdot(kB) = k\,(A\cdot B).

Passo 4

Reunindo as duas igualdades, obtemos
(kA)\cdot B = k\,(A\cdot B) = A\cdot (kB).

Resposta

(kA)\cdot B=k(A\cdot B)=A\cdot(kB).

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