Prove as seguintes afirmações:
(A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C), para toda matriz A=\left(a_{i j}\right)_{n \times m}, B=\left(b_{j k}\right)_{m \times p} e C=\left(c_{k l}\right)_{p \times r}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, para A=(a_{ij})_{n\times m}, B=(b_{jk})_{m\times p} e C=(c_{k\ell})_{p\times r}, vale
(A\cdot B)\cdot C \;=\; A\cdot (B\cdot C).
Para isso, vamos mostrar que cada entrada na posição (i,\ell) de (A B)C coincide com a de A(BC), usando a definição
(XY)_{i\ell} \;=\; \sum_{s} x_{is}\,y_{s\ell}.

Passo 2

Calculemos primeiro a entrada (i,\ell) de (A B)C. Da definição, para cada k=1,\dots,p temos
(AB)_{ik} \;=\; \sum_{j=1}^{m} a_{ij}\,b_{jk},
logo
\bigl((AB)C\bigr)_{i\ell} =\sum_{k=1}^{p}(AB)_{ik}\;c_{k\ell}.

Passo 3

Expandindo o somatório aninhado obtemos
\bigl((AB)C\bigr)_{i\ell} =\sum_{k=1}^{p}\Bigl(\sum_{j=1}^{m}a_{ij}\,b_{jk}\Bigr)\,c_{k\ell} =\sum_{k=1}^{p}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}\,b_{jk}\,c_{k\ell}.

Passo 4

Agora a entrada (i,\ell) de A(BC). Primeiro, para cada j=1,\dots,m,
(BC)_{j\ell} =\sum_{k=1}^{p}b_{jk}\,c_{k\ell},
e portanto
\bigl(A(BC)\bigr)_{i\ell} =\sum_{j=1}^{m}a_{ij}\,(BC)_{j\ell} =\sum_{j=1}^{m}a_{ij}\Bigl(\sum_{k=1}^{p}b_{jk}\,c_{k\ell}\Bigr) =\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{p}a_{ij}\,b_{jk}\,c_{k\ell}.

Passo 5

Observando que
\sum_{k=1}^{p}\sum_{j=1}^{m}a_{ij}\,b_{jk}\,c_{k\ell} \;=\; \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{p}a_{ij}\,b_{jk}\,c_{k\ell},
pela comutatividade e associatividade da soma finita concluímos
\bigl((AB)C\bigr)_{i\ell} =\bigl(A(BC)\bigr)_{i\ell} \quad\forall\,i=1,\dots,n,\;\ell=1,\dots,r.
Logo (AB)C = A(BC).

Resposta

(A\cdot B)\cdot C \;=\; A\cdot (B\cdot C).

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