Prove que B-A^c=B cap A.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra provar que
B - A^c = B cap A
Isso é teoria de conjuntos: operações de diferença, complemento e intersecção.
O que vamos precisar:
  • Definição de complemento: é o conjunto de todos os elementos que não estão em .
  • Definição de diferença: .
  • Definição de interseção: .
    A ideia geral é mostrar que cada lado está contido no outro (duas inclusões).

Passo 2

Mostrando .
  1. Pegue um elemento qualquer em .
  2. Pela definição de diferença, isso significa:
    • ,
    • e .
  3. Mas “ ” significa, pela definição de complemento, que não é verdade que está fora de . Ou seja, .
  4. Então concluímos:
    • e
    • .
  5. E isso é exatamente a definição de .
    Logo, qualquer em também está em .

Passo 3

Mostrando .
  1. Pegue um elemento qualquer em .
  2. Isso quer dizer:
    • ,
    • e .
  3. Se , então (já que é tudo o que não está em ).
  4. Logo, satisfaz:
    • ,
    • e .
  5. E essa combinação é justamente dizer .
    Portanto, qualquer em também está em .

Resposta

Juntando as duas inclusões, mostramos que
B - A^c subseteq B cap A e B cap A subseteq B - A^c,
logo
boxed,B - A^c = B cap A,

Exercícios relacionados