Prove que
.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra provar que
Isso é teoria de conjuntos: operações de diferença, complemento e intersecção.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definição de complemento:
é o conjunto de todos os elementos que não estão em . - Definição de diferença:
. - Definição de interseção:
.
A ideia geral é mostrar que cada lado está contido no outro (duas inclusões).
Passo 2
Mostrando
.
- Pegue um elemento qualquer
em . - Pela definição de diferença, isso significa:
-
, - e
.
-
- Mas “
” significa, pela definição de complemento, que não é verdade que está fora de . Ou seja, . - Então concluímos:
-
e -
.
-
- E isso é exatamente a definição de
.
Logo, qualquerem também está em .
Passo 3
Mostrando
.
- Pegue um elemento qualquer
em . - Isso quer dizer:
-
, - e
.
-
- Se
, então (já que é tudo o que não está em ). - Logo,
satisfaz: -
, - e
.
-
- E essa combinação é justamente dizer
.
Portanto, qualquerem também está em .
Resposta
Juntando as duas inclusões, mostramos que
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