Prove a Lei de Gauss: Seja
E(x, y, z)=\frac{Q}{\sqrt[3 / 2]{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k})
prove que para toda superficie S fechada que contem a origem dentro \iint_{S} E. d S=4 \pi Q, e \iint_{S} E \cdot d S=0 se a origem não esta dentro.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo elétrico
E(x,y,z)=\frac{Q}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}\,(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k})
e pede para mostrar que, para qualquer superfície fechada S, vale
  1. \displaystyle \iint_{S}E\cdot dS=4\pi Q se a origem está dentro de S.
  2. \displaystyle \iint_{S}E\cdot dS=0 se a origem está fora de S.
    O conteúdo aqui é o cálculo de fluxo de um campo radial e o uso do Teorema da Divergência (ou cálculo direto em coordenadas esféricas).

Passo 2

Vamos primeiro calcular diretamente o fluxo através de uma esfera de raio R centrada na origem. Em coordenadas esféricas temos
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \quad E = \frac{Q}{r^2}\,\hat{\mathbf r},
e o elemento de área da esfera é
dS = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,,
com normal \hat{\mathbf r}. Então
E\cdot dS =\frac{Q}{R^2}\,\hat{\mathbf r}\cdot(\hat{\mathbf r}\,R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi) =Q\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Integramos \theta de 0 a \pi e \varphi de 0 a 2\pi:
\iint_{S_{\text{esf}}}E\cdot dS =Q\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =Q\,(2\pi)\,(2) =4\pi Q.

Passo 3

Para uma superfície fechada S de forma qualquer que envolva a origem, considere o volume V interno a S menos uma pequena esfera de raio \varepsilon ao redor da origem. Nesse domínio o campo é suave e podemos usar o Teorema da Divergência:
\iiint_{V}\nabla\cdot E\,dV =\iint_{S}E\cdot dS -\iint_{S_{\varepsilon}}E\cdot dS.
Mas para r>0 tem-se
\nabla\cdot E=0
pois E\propto r^{-2}\hat r é campo sem carga no espaço livre. Logo
0=\iint_{S}E\cdot dS-\underbrace{\iint_{S_{\varepsilon}}E\cdot dS}_{\to4\pi Q\text{ quando }\varepsilon\to0},
o que implica
\iint_{S}E\cdot dS=4\pi Q.

Passo 4

Se a origem não está dentro de S, então em todo o volume delimitado por S temos \nabla\cdot E=0 e não há singularidade interna. Pelo Teorema da Divergência segue diretamente
\iint_{S}E\cdot dS =\iiint_{\text{interior}} \nabla\cdot E\,dV =0.

Resposta

Se a origem está dentro de S, então
\iint_{S}E\cdot dS=4\pi Q.
Se a origem está fora de S, então
\iint_{S}E\cdot dS=0.

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