e pede para mostrar que, para qualquer superfície fechada S, vale
\displaystyle \iint_{S}E\cdot dS=4\pi Q se a origem está dentro de S.
\displaystyle \iint_{S}E\cdot dS=0 se a origem está fora de S.
O conteúdo aqui é o cálculo de fluxo de um campo radial e o uso do Teorema da Divergência (ou cálculo direto em coordenadas esféricas).
Passo 2
Vamos primeiro calcular diretamente o fluxo através de uma esfera de raio R centrada na origem. Em coordenadas esféricas temos
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \quad E = \frac{Q}{r^2}\,\hat{\mathbf r},
Para uma superfície fechada S de forma qualquer que envolva a origem, considere o volume V interno a S menos uma pequena esfera de raio \varepsilon ao redor da origem. Nesse domínio o campo é suave e podemos usar o Teorema da Divergência:
\iiint_{V}\nabla\cdot E\,dV =\iint_{S}E\cdot dS -\iint_{S_{\varepsilon}}E\cdot dS.
Mas para r>0 tem-se
\nabla\cdot E=0
pois E\propto r^{-2}\hat r é campo sem carga no espaço livre. Logo
0=\iint_{S}E\cdot dS-\underbrace{\iint_{S_{\varepsilon}}E\cdot dS}_{\to4\pi Q\text{ quando }\varepsilon\to0},
o que implica
\iint_{S}E\cdot dS=4\pi Q.
Passo 4
Se a origem não está dentro de S, então em todo o volume delimitado por S temos \nabla\cdot E=0 e não há singularidade interna. Pelo Teorema da Divergência segue diretamente