Exercício 05: Calcular os ângulos internos de um triângulo A B C não-retângulo, sabendo que a=2, b=\sqrt{6} e c=\sqrt{3}+1.
Resposta: 45^{\circ}, 60^{\circ} e 75^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que no triângulo ABC (não-retângulo) valem
a = 2,\quad b = \sqrt{6},\quad c = \sqrt{3} + 1
e pede os ângulos internos \alpha = \angle A, \beta = \angle B, \gamma = \angle C. Para isso, vamos usar a lei dos cossenos.

Passo 2

Aplicando a lei dos cossenos em \alpha, temos
\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2\,b\,c}.
Calculando cada termo: \,b^2 = 6,
c^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}, \,a^2 = 4.
Logo o numerador é
6 + (4 + 2\sqrt{3}) - 4 = 6 + 2\sqrt{3},
e o denominador é
2\,b\,c = 2\sqrt{6}\,(\sqrt{3}+1).
Fazendo a simplificação surge
\cos\alpha = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(3+\sqrt{3})}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
\alpha = 45^\circ.

Passo 3

Agora para \beta usamos
\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2\,a\,c}.
Substituindo a^2=4, c^2=4+2\sqrt{3}, b^2=6, obtemos no numerador
4 + (4+2\sqrt{3}) - 6 = 2 + 2\sqrt{3} = 2(1+\sqrt{3}),
e no denominador
2\,a\,c = 2 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3}+1) = 4(\sqrt{3}+1).
Logo
\cos\beta = \frac{2(1+\sqrt{3})}{4(\sqrt{3}+1)} = \frac{1}{2},
de onde
\beta = 60^\circ.

Passo 4

O último ângulo \gamma vem da soma interna dos ângulos do triângulo:
\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ.

Resposta

Os ângulos internos são 45^\circ, 60^\circ e 75^\circ.

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