Exercício 06: Calcular o lado c de um triângulo A B C não-retângulo em que a=6 m, b=3 m e \widehat{A}=3 \widehat{B}. Resposta : 3 \sqrt{3} m

Passo 1

O enunciado pede o lado c de um triângulo ABC em que a=6 m, b=3 m e \widehat A=3\,\widehat B. O conteúdo principal aqui é a Lei dos Senos, que relaciona lados e ângulos de qualquer triângulo, e também a soma dos ângulos internos A+B+C=180^\circ.

Passo 2

Pela Lei dos Senos, temos
\frac{a}{\sin A} \;=\;\frac{b}{\sin B}.
Como A=3B, substituímos e obtemos
\frac{6}{\sin(3B)} \;=\;\frac{3}{\sin B} \quad\Longrightarrow\quad 6\,\sin B \;=\;3\,\sin(3B) \quad\Longrightarrow\quad 2\,\sin B \;=\;\sin(3B).
Usamos a identidade
\sin(3B)=3\sin B - 4\sin^3B
para escrever
2\sin B = 3\sin B - 4\sin^3B \;\Longrightarrow\; 4\sin^3B - \sin B = 0 \;\Longrightarrow\; \sin B\,(4\sin^2B - 1) = 0.
Como \sin B>0 num ângulo interno, ficamos com
4\sin^2B = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sin B = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad B = 30^\circ.
Logo A=3B=90^\circ.

Passo 3

O terceiro ângulo é
C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.
Para achar c, aplicamos de novo a Lei dos Senos:
\frac{c}{\sin C} \;=\;\frac{a}{\sin A} \;=\;\frac{6}{\sin 90^\circ} \;=\;6.
Assim
c = 6 \,\sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3\text{ m}.

Passo 4

Embora o enunciado diga “não-retângulo”, a relação A=3B com a=6, b=3 força A=90^\circ. De qualquer forma, o valor de c sai como 3\sqrt3 m.

Resposta

c = 3\sqrt3\text{ m}

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