Sejam
e
funções. Prove que:
Se
e
são sobrejetoras, então a composta
também é sobrejetora.
Se
e
são injetoras, então a composta
também é injetora.
Se
Se
Passo 1
O enunciado dá duas funções
e pede para provar duas propriedades da composta
:
- Se
e são sobrejetoras, então é sobrejetora. - Se
e são injetoras, então é injetora.
Vamos usar as definições:
–é sobrejetora se, para todo no contradomínio de , existe no domínio de tal que .
–é injetora se, sempre que , então .
Passo 2
Prova de que
é sobrejetora quando
e
são sobrejetoras.
Seja qualquer.
Como é sobrejetora, existe
tal que
Seja
Como
Como
é sobrejetora, existe
tal que
Logo
o que mostra que, dado
, encontramos
com
. Portanto
é sobrejetora.
Passo 3
Prova de que
é injetora quando
e
são injetoras.
Suponha tais que
Suponha
Então
Como
é injetora, segue-se
E como
é injetora, disso decorre
Portanto, sempre que
temos
, isto é,
é injetora.
Resposta
Mostramos que:
(a) Se e
são sobrejetoras, então
é sobrejetora.
(b) Se e
são injetoras, então
é injetora.
(a) Se
(b) Se