Prove que lim x +infty 25 x-1=0, mostrando que para todo varepsilon>0, existe um número real N>0, tal que se x>N então |25 x-1-0|<varepsilon.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto+infty25x-1=0
usando a definição de limite no infinito: para todo varepsilon>0 devemos encontrar N>0 tal que, sempre que x>N, valha
|25x-1-0|<varepsilon

Passo 2

Começamos calculando a distância ao valor-limite zero. Para x>1/5 o denominador 5x-1 é positivo, então
|25x-1-0| =25x-1

Passo 3

Queremos então
25x-1<varepsilon
Como 5x-1>0, podemos inverter a desigualdade de forma cuidadosa:
5x-1>2varepsilon Long<=ftrightarrow x>tfrac2varepsilon+15

Passo 4

Basta, portanto, tomar
N=tfrac2varepsilon+15
Note que N>1/5, garantindo 5x-1>0 sempre que x>N. Para esse N, se x>N então
5x-1>5N-1=2varepsilon Longrightarrow 25x-1<varepsilon,
o que é exatamente l|tfrac25x-1-0r|<varepsilon.

Resposta

Tomando N=(2/varepsilon+1)/5, obtemos l|tfrac25x-1-0r|<varepsilon sempre que x>N, e assim limxto+infty2/(5x-1)=0.

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