Prove que
, mostrando que para todo
, existe um número real
, tal que se
então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
usando a definição de limite no infinito: para todo
varepsilon>0 devemos encontrar
N>0 tal que, sempre que
x>N , valha
Passo 2
Começamos calculando a distância ao valor-limite zero. Para
x>1/5 o denominador
5x-1 é positivo, então
Passo 3
Queremos então
Como
5x-1>0 , podemos inverter a desigualdade de forma cuidadosa:
Passo 4
Basta, portanto, tomar
Note que
N>1/5 , garantindo
5x-1>0 sempre que
x>N . Para esse
N , se
x>N então
o que é exatamente
l|tfrac25x-1-0r|<varepsilon .
Resposta
Tomando
N=(2/varepsilon+1)/5 , obtemos
l|tfrac25x-1-0r|<varepsilon sempre que
x>N , e assim
limxto+infty2/(5x-1)=0 .