Exercício 1.5.1. Calcule as integrais:
Ii=integral (1+raizx)^14raizx d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
Ii = integral (1+raizx)^14raizx ,dx
O conteúdo necessário é o método de substituição para tornar a integral mais simples e, em seguida, usar a regra de potência para integrar uma função do tipo t^n.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = raizx,
logo x = u^2 e
dx = 2u,du

Passo 3

Substituindo na integral, notamos que raizx=u e dx=2u,du, então
(1+raizx)^14raizx,dx = (1+u)^14u,(2u,du) = 2,(1+u)^14,du
Portanto,
Ii = 2 integral (1+u)^14 ,du

Passo 4

Para integrar integral (1+u)^14 du, use a regra de potência integral t^ndt = t^n+1/(n+1). Com t=1+u e dt=du, temos
integral (1+u)^14 du = (1+u)^5454 + C = 45(1+u)^54 + C
Multiplicando por 2,
Ii = 2 cdot 45(1+u)^54 + C = 85(1+u)^54 + C
Voltando a u=raizx,
Ii = 85l(1+raizxr)^54 + C

Resposta

Ii = 85l(1+raizxr)^54 + C

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