Prove que:
lim n infty(1n^2+1(n+1)^2+1(n+2)^2+ldots+1(2 n)^2)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an=1n^2+1(n+1)^2+cdots+1(2n)^2
tem limite zero quando ntoinfty. O conteúdo envolvido é limite de sequência e uso do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), comparando an com uma sequência que tende a zero.

Passo 2

Repare que cada termo de an é positivo, logo
0<= an
Além disso, para todo k=0,1,dots,n temos (n+k)^2>= n^2, então
1(n+k)^2<= 1n^2
Somando essas n+1 desigualdades obtemos
an =sumk=0^n1(n+k)^2 <= sumk=0^n1n^2 =n+1n^2

Passo 3

Agora calculamos o limite da sequência que serve de cota superior:
limntoinftyn+1n^2 =limntoinftyl(nn^2+1n^2r) =limntoinftyl(1n+1n^2r) =0+0 =0

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, tendo 0<= an<=n+1n^2 e sabendo que o limite da cota superior é zero, conclui-se que
limntoinftyan=0

Resposta

0

Exercícios relacionados