A reta tangente ao gráfico de y=x^2 em x=1 é também tangente ao círculo de centro (3,0) e raio R=
(A) raiz2
(B) raiz3
(C) raiz5
(D) raiz6
(E) NRA

Passo 1

O enunciado pede para achar o raio R de um círculo de centro (3,0) que seja tangente à reta que toca o gráfico de y=x^2 em x=1. Para isso vamos usar:
  • Derivada de y=x^2 para encontrar a reta tangente em x=1.
  • Equação geral da reta.
  • Fórmula da distância de um ponto a uma reta, impondo que essa distância seja igual a R.

Passo 2

A derivada de y=x^2 é
y' = 2x
Em x=1 temos coeficiente angular m = y'(1) = 2. A reta passa pelo ponto (1,1), logo sua equação é
y - 1 = 2,(x - 1) Longrightarrow y = 2x - 1
Em forma geral:
2x - y - 1 = 0

Passo 3

Para que essa reta seja tangente ao círculo de centro (3,0), a distância do centro até a reta deve ser igual ao raio R. A distância de (x0,y0) à reta Ax + By + C = 0 é
d = l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2 + B^2

Passo 4

Aqui A=2, B=-1, C=-1 e (x0,y0)=(3,0). Então
l|2cdot3 + (-1)cdot0 - 1r| = |6 - 1| = 5,
raizA^2 + B^2 = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz5,
d = 5raiz5 = raiz5
Como d = R, segue que R = raiz5.

Resposta

(C) raiz5

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