Problema 1. Dois anéis de raio R e cargas iguais e opostas são fixadas em planos paralelos e cujos centros estão separados uma distancia L. Mostre que a diferença de potencial entre os centros dos anéis é:
De<a V=14 pi epsilon0 2 qR(1-RraizR^2+L^2)

Passo 1

O enunciado descreve dois anéis de raio R, um com carga +q em z=0 e outro com carga -q em z=L, ambos no mesmo eixo e em planos paralelos separados por L. Precisamos encontrar a diferença de potencial elétrico entre o centro do anel em z=0 e o centro do anel em z=L. Vamos usar o princípio da superposição e a fórmula do potencial no eixo de um anel carregado.

Passo 2

A teoria diz que o potencial elétrico gerado por um anel de raio R e carga total Q, num ponto sobre o eixo do anel a uma distância z do seu centro, é dado por
V(z)=14piepsilon0;QraizR^2+z^2,

Passo 3

Calculemos o potencial no centro do anel de carga +q (isto é, em z=0). Há duas contribuições:
– Do próprio anel +q: em z=0 temos raizR^2+0^2=R, logo
Vself,+(0)=14piepsilon0;qR
– Do anel de carga -q localizado em z=L: a distância ao ponto z=0 é raizR^2+L^2, então
V-(0)=14piepsilon0;-qraizR^2+L^2
Portanto,
V(0)=14piepsilon0l(qR-qraizR^2+L^2r)

Passo 4

Agora o potencial no centro do anel de carga -q (isto é, em z=L):
– Do anel +q em z=0: distância raizR^2+L^2,
V+(L)=14piepsilon0;qraizR^2+L^2
– Do próprio anel -q: em z=L a distância ao seu centro é 0, mas para o anel a fórmula produz
Vself,-(L)=14piepsilon0;-qR
Logo
V(L)=14piepsilon0l(qraizR^2+L^2-qRr)

Passo 5

A diferença de potencial entre os centros é
De<a V=V(0)-V(L) =14piepsilon0l(qR-qraizR^2+L^2 -qraizR^2+L^2+qRr) =14piepsilon0;2ql(1R-1raizR^2+L^2r)
Fatorando tfrac1R no parêntese,
De<a V=14piepsilon0;2qRl(1-RraizR^2+L^2r)

Resposta

De<a V=14 pi epsilon0,2 qRl(1-RraizR^2+L^2r)

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