Prove que:
lim n infty(1raizn+1+1raizn+2+ldots+1raiz2 n)=+infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an ;=;sumk=n+1^2n1raizk
tende a +infty quando ntoinfty.
Conteúdo: comparação e estimativa de somas.

Passo 2

Observe que, para todo k com n+1<= k<= 2n, temos
raizk;<=;raiz2n Longrightarrow 1raizk;>=;1raiz2n
Isto vale pois a raiz quadrada é crescente.

Passo 3

Como a soma an tem exatamente n termos (de k=n+1 até k=2n), cada um deles maior ou igual a 1/raiz2n, segue
an =sumk=n+1^2n1raizk ;>=; sumk=1^n1raiz2n ;=; n;cdot;1raiz2n ;=;raizn2

Passo 4

Como raizn/2to+infty quando ntoinfty, pelo fato de an>=raizn/2 concluímos
an;longrightarrow;+infty

Resposta

+infty

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