(4) Prove que
lim x 1(x^2-1) cos (1x-1)=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que
limxto1l(x^2-1r)cos!l(tfrac1x-1r)=0
O conteúdo aqui é limites de funções e, em particular, o Teorema do Confronto (ou Squeeze). Vamos usar o fato de que cos é limitada entre -1 e 1, e que x^2-1 tende a zero quando xto1.

Passo 2

Como -1<=cos!l(tfrac1x-1r)<=1, temos
l|(x^2-1)cos(tfrac1x-1)r|;<=;|x^2-1|cdot1 ;=;|x^2-1|

Passo 3

Note que
|x^2-1| = |x-1|;|x+1|
Quando xto1, |x+1|to2. Logo, escolhemos um intervalo em que |x-1|<1 implica |x+1|<3. Assim, para 0<|x-1|<1,
l|(x^2-1)cos(tfrac1x-1)r| ;<=;|x-1|;|x+1| ;<;3,|x-1|
E como limxto13|x-1|=0, isso mostra que o módulo da nossa expressão vai para zero.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, já que
-;|x^2-1|;<=;(x^2-1)cos(tfrac1x-1);<=;|x^2-1|
e ambos -|x^2-1| e |x^2-1| tendem a zero quando xto1, concluímos que
limxto1(x^2-1)cos(tfrac1x-1)=0

Resposta

0

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