Prove que $ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=l $ se e somente se $ \lim _{x \rightarrow a}[f(x)-l]=0 $. (Primeiro veja por que a afirmação é óbvia; depois forneça uma prova rigorosa. Neste capítulo, a maioria dos problemas que pedem provas devem ser tratados da mesma forma.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a afirmação “
” é logicamente equivalente a “
”. O conteúdo é teoria de limites de funções e vamos usar a definição
-
de limite.
Passo 2
Intuitivamente a afirmação é óbvia porque subtrair a constante
desloca o gráfico verticalmente, e portanto se
se aproxima de
, então
se aproxima de zero, e vice-versa.
Passo 3
Prova de “
implica
”: seja
. Pela hipótese de
, existe
tal que para todo
com
vale
Note que
Passo 4
Prova de “
implica
”: seja
. Pela hipótese de
, existe
tal que para todo
com
temos
ou seja
Resposta
Concluímos que
se e somente se
.