Prove que $ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=l $ se e somente se $ \lim _{x \rightarrow a}[f(x)-l]=0 $. (Primeiro veja por que a afirmação é óbvia; depois forneça uma prova rigorosa. Neste capítulo, a maioria dos problemas que pedem provas devem ser tratados da mesma forma.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a afirmação “ limxto af(x)=l” é logicamente equivalente a “ limxto a[f(x)-l]=0”. O conteúdo é teoria de limites de funções e vamos usar a definição varepsilon- de de limite.

Passo 2

Intuitivamente a afirmação é óbvia porque subtrair a constante l desloca o gráfico verticalmente, e portanto se f(x) se aproxima de l, então f(x)-l se aproxima de zero, e vice-versa.

Passo 3

Prova de “ limxto af(x)=l implica limxto a[f(x)-l]=0”: seja varepsilon>0. Pela hipótese de limxto af(x)=l, existe de0 tal que para todo x com 0<|x-a| vale
|f(x)-l|
Note que |(f(x)-l)-0|=|f(x)-l|. Isso mostra, pela definição, que limxto a[f(x)-l]=0.

Passo 4

Prova de “ limxto a[f(x)-l]=0 implica limxto af(x)=l”: seja varepsilon>0. Pela hipótese de limxto a[f(x)-l]=0, existe de0 tal que para todo x com 0<|x-a| temos
|f(x)-l-0|
ou seja |f(x)-l|. Isso satisfaz a definição de limxto af(x)=l.

Resposta

Concluímos que limxto af(x)=l se e somente se limxto a[f(x)-l]=0.

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